25. Péndulo físico y momento de inercia

25.1 Del péndulo simple al péndulo físico

El péndulo simple concentra toda la masa en un punto situado a una distancia L del apoyo. Muchos objetos reales —una regla, una placa, una rueda o una pieza de máquina— tienen masa distribuida.

Un péndulo físico es un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje horizontal fijo que no pasa por su centro de masa.

La gravedad actúa sobre cada parte del cuerpo, pero su efecto total puede representarse mediante el peso aplicado en el centro de masa.

25.2 Elementos del modelo

Para describir un péndulo físico plano necesitamos:

• la masa total m;
• la posición del centro de masa CM;
• la distancia d desde el eje hasta el CM;
• el momento de inercia I_O respecto del eje de suspensión O;
• el ángulo θ respecto de la vertical inferior;
• la aceleración gravitatoria g.

El eje debe permanecer fijo y el cuerpo debe conservar su forma.

25.3 Momento de inercia

El momento de inercia mide cómo está distribuida la masa respecto de un eje. Para partículas:

Para un cuerpo continuo, la suma se reemplaza por una integral. Sus unidades son kg·m².

A igual masa, alejar material del eje aumenta I. Un momento de inercia mayor implica más resistencia a cambiar la velocidad angular.

25.4 El eje importa

Un mismo cuerpo posee distintos momentos de inercia respecto de ejes diferentes. Por eso debemos indicar siempre el eje:

La ecuación de rotación utiliza I_O porque el cuerpo gira alrededor de O.

25.5 Teorema de ejes paralelos

Si conocemos I_CM y el eje de suspensión es paralelo y está a distancia d:

El término md² incorpora el desplazamiento del eje. No debe usarse si los ejes no son paralelos.

Como ambos términos son no negativos, I_O nunca es menor que I_CM.

25.6 Torque gravitatorio

El peso mg actúa en el centro de masa. Su brazo perpendicular respecto del eje es d sen θ.

Con θ positiva hacia un lado:

El signo negativo indica un torque restaurador alrededor de la posición inferior. En θ = 0, la línea de acción del peso pasa por el eje y el torque es cero.

25.7 Ecuación exacta de rotación

La segunda ley para la rotación alrededor de un eje fijo es Στ = I_O θ̈. Por lo tanto:

La ecuación exacta queda:

Tiene la misma no linealidad trigonométrica que el péndulo simple, pero el cociente dinámico depende de la distribución de masa.

25.8 Aproximación de ángulo pequeño

Si θ es suficientemente pequeño y está medido en radianes, usamos sen θ ≈ θ:

La frecuencia angular natural es:

La solución es aproximadamente armónica: θ(t) = Θ cos(Ω₀t + φ₀).

25.9 Período del péndulo físico

La fórmula requiere d > 0. Si el eje pasa por el centro de masa, el peso no produce torque restaurador y el cuerpo no oscila gravitatoriamente alrededor de una orientación preferida.

Para amplitudes grandes, el período recibe la misma clase de corrección no lineal estudiada en el tema anterior.

25.10 Longitud equivalente

Podemos definir un péndulo simple con el mismo período lineal:

Entonces:

L_eq no es necesariamente una longitud física del cuerpo. Resume conjuntamente la distribución de masa y la ubicación del eje.

25.11 Recuperar el péndulo simple

Para una masa puntual a distancia L:

Por lo tanto:

El péndulo simple es un caso particular del péndulo físico.

25.12 Barra uniforme suspendida de un extremo

Para una barra delgada de longitud ℓ:

Aplicando ejes paralelos:

Entonces:

25.13 Disco suspendido desde el borde

Para un disco uniforme de radio R que oscila en su plano alrededor de un eje perpendicular que pasa por el borde:

Por ejes paralelos:

La longitud equivalente es 3R/2 y el período lineal es 2π√[3R/(2g)].

25.14 Por qué suele cancelarse la masa

Para cuerpos de la misma forma y tamaño, el momento de inercia es proporcional a m. Podemos escribir I_O = mC, donde C depende de la geometría.

Al sustituir en el período, m se cancela:

Agregar masa en una posición específica puede cambiar la distribución y el centro de masa; en ese caso no basta afirmar que la masa se cancela sin recalcular I_O y d.

25.15 Radio de giro y posición del eje

Definimos el radio de giro respecto del centro de masa mediante:

Con ejes paralelos:

Si el eje está muy cerca del centro de masa, el torque restaurador es pequeño y el período crece. Si está muy lejos, aumenta la inercia. Entre ambos extremos existe una posición que minimiza el período.

25.16 Cuerpos compuestos

Para varias piezas rígidamente unidas:

1. calculá la masa total;
2. obtené la posición del centro de masa conjunto;
3. trasladá el momento de cada pieza al eje O;
4. sumá los momentos: I_O = ΣI_{O,i};
5. usá la distancia d entre O y el centro de masa total.

No es correcto promediar los momentos de inercia ni las distancias.

25.17 Energía del péndulo físico

Con el cero potencial en la posición inferior:

La expresión coincide estructuralmente con la del péndulo simple al reemplazar mL² por I_O y L por d en la altura del centro de masa.

Esta energía permite calcular velocidades angulares y puntos de retorno sin resolver el tiempo.

25.18 Medir un momento de inercia

Si conocemos m, d, g y medimos un período pequeño T₀, podemos despejar:

Luego, mediante ejes paralelos:

El método requiere localizar correctamente el centro de masa, medir d desde el eje y mantener una amplitud compatible con la aproximación lineal.

25.19 Implementar los cálculos en JavaScript

function propiedadesPenduloFisico({ masaKg, inerciaCMKgM2, distanciaM, gravedadMps2 }) {
  if (masaKg <= 0 || inerciaCMKgM2 < 0 || distanciaM <= 0 || gravedadMps2 <= 0) {
    throw new RangeError("Los parámetros no son válidos");
  }
  const inerciaEjeKgM2 = inerciaCMKgM2 + masaKg * distanciaM ** 2;
  const longitudEquivalenteM = inerciaEjeKgM2 / (masaKg * distanciaM);
  const frecuenciaAngularRadS = Math.sqrt(gravedadMps2 / longitudEquivalenteM);
  const periodoS = 2 * Math.PI / frecuenciaAngularRadS;
  return { inerciaEjeKgM2, longitudEquivalenteM,
    frecuenciaAngularRadS, periodoS };
}

console.log(propiedadesPenduloFisico({
  masaKg: 0.60, inerciaCMKgM2: 0.0405,
  distanciaM: 0.45, gravedadMps2: 9.81
}));

Para cuerpos conocidos conviene encapsular sus fórmulas geométricas:

function barraDesdeExtremo(masaKg, longitudM, gravedadMps2 = 9.81) {
  const distanciaM = longitudM / 2;
  const inerciaCMKgM2 = masaKg * longitudM ** 2 / 12;
  const inerciaEjeKgM2 = inerciaCMKgM2 + masaKg * distanciaM ** 2;
  const longitudEquivalenteM = inerciaEjeKgM2 / (masaKg * distanciaM);
  return {
    distanciaM, inerciaCMKgM2, inerciaEjeKgM2,
    longitudEquivalenteM,
    periodoS: 2 * Math.PI * Math.sqrt(longitudEquivalenteM / gravedadMps2)
  };
}

console.log(barraDesdeExtremo(0.60, 0.90));

25.20 Laboratorio interactivo: distribución y eje

Modificá el momento de inercia central y la distancia al pivote. El gráfico muestra cómo cambia el período al mover el eje, manteniendo fija la distribución respecto del centro de masa.

• Mové el eje: observá que T crece tanto cerca como lejos del centro de masa.
• Usá el pivote óptimo: comprobá el mínimo en d = k_CM.
• Cambiá m manteniendo I_CM fijo: representa otra distribución, no una simple reescala del mismo cuerpo.
• Probá los ejemplos: compará barra, disco y masa puntual.

25.21 Errores frecuentes

• Usar I_CM en la ecuación: se necesita el momento respecto del eje de suspensión.
• Confundir d con la longitud total: d llega hasta el centro de masa.
• Aplicar ejes paralelos a ejes no paralelos: el teorema no corresponde.
• Suponer que toda la masa está en el CM: eso elimina la contribución de I_CM.
• Usar la fórmula lineal con amplitudes grandes: el período recibe correcciones.
• Cancelar m sin revisar la geometría: agregar masa puede cambiar I y d.

25.22 Ejercicio propuesto

Una barra uniforme de m = 0,60 kg y longitud ℓ = 0,90 m oscila alrededor de un eje horizontal que pasa por uno de sus extremos. Usá g = 9,81 m/s² y una amplitud inicial de 12°.

1. Calculá d, I_CM e I_O.
2. Calculá la longitud equivalente.
3. Obtené Ω₀ y T₀.
4. Calculá el torque gravitatorio inicial.
5. Calculá la energía inicial si se libera desde el reposo.

const masaKg = 0.60;
const longitudM = 0.90;
const gravedadMps2 = 9.81;
const amplitudRad = 12 * Math.PI / 180;
const distanciaM = longitudM / 2;
const inerciaCMKgM2 = masaKg * longitudM ** 2 / 12;
const inerciaEjeKgM2 = inerciaCMKgM2 + masaKg * distanciaM ** 2;
const longitudEquivalenteM = inerciaEjeKgM2 / (masaKg * distanciaM);
const frecuenciaAngularRadS = Math.sqrt(masaKg * gravedadMps2 * distanciaM /
  inerciaEjeKgM2);
const periodoS = 2 * Math.PI / frecuenciaAngularRadS;
const torqueInicialNm = -masaKg * gravedadMps2 * distanciaM *
  Math.sin(amplitudRad);
const energiaInicialJ = masaKg * gravedadMps2 * distanciaM *
  (1 - Math.cos(amplitudRad));

console.log({ distanciaM, inerciaCMKgM2, inerciaEjeKgM2,
  longitudEquivalenteM, frecuenciaAngularRadS, periodoS,
  torqueInicialNm, energiaInicialJ });

25.23 Ideas para recordar

• Un péndulo físico es un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo.
• La distribución de masa se representa mediante I_O.
• El torque gravitatorio es −mgd sen θ.
• Para ángulos pequeños, T₀ = 2π√[I_O/(mgd)].
• El teorema de ejes paralelos da I_O = I_CM + md².
• La longitud equivalente es I_O/(md).
• El péndulo simple es el caso I_O = mL² y d = L.
• Si el eje pasa por el CM, no hay torque gravitatorio restaurador.