26. Rozamiento viscoso y oscilaciones amortiguadas

26.1 Por qué los sistemas reales se detienen

Un oscilador ideal repite indefinidamente su movimiento. En un sistema real, el aire, la fricción interna, un fluido o un dispositivo amortiguador transfieren energía mecánica hacia otras formas.

Como resultado, los extremos sucesivos suelen acercarse al equilibrio. Llamamos amortiguada a una respuesta cuya amplitud disminuye por la acción de fuerzas disipativas.

El primer modelo que estudiaremos supone una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad.

26.2 Modelo de rozamiento viscoso

b es el coeficiente de amortiguamiento viscoso. El signo negativo garantiza que la fuerza se oponga al movimiento:

• si v > 0, entonces F_b < 0;
• si v < 0, entonces F_b > 0;
• si v = 0, entonces F_b = 0.

La fuerza depende de la velocidad instantánea, no de la posición ni del sentido en que esté deformado el resorte.

26.3 Unidades del coeficiente b

De F_b = bv:

Estas unidades son diferentes de las de k:

Confundir ambos parámetros conduce a ecuaciones dimensionalmente incorrectas.

26.4 Un modelo, no una ley universal

La proporcionalidad con v representa bien ciertos amortiguadores y movimientos en fluidos dentro de intervalos limitados. No describe toda forma de rozamiento.

• El rozamiento seco suele depender aproximadamente del signo de v y no de su módulo.
• La resistencia aerodinámica puede crecer aproximadamente con v² a velocidades mayores.
• Materiales viscoelásticos pueden depender de la historia de deformación.

Antes de usar −bv debemos comprobar que sea una idealización adecuada para el sistema y las velocidades consideradas.

26.5 Fuerzas en el sistema masa-resorte

Medimos x desde el equilibrio. Sobre la masa actúan en la dirección del movimiento:

La fuerza resultante es:

Las dos fuerzas pueden apuntar en sentidos iguales u opuestos. La fuerza elástica depende de x; la viscosa siempre se opone a v.

26.6 Ecuación del oscilador amortiguado

Aplicamos la segunda ley:

Reordenando:

Es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Aunque sigue siendo lineal, su respuesta ya no es un coseno de amplitud constante.

26.7 Interpretar los tres términos

La suma algebraica de los tres términos es cero. Esto no significa que cada fuerza sea nula.

26.8 Aceleración instantánea

Para simular o analizar un estado, despejamos:

La aceleración depende de dos variables del estado: posición y velocidad. Conocer solamente x ya no basta.

Por ejemplo, la masa puede pasar dos veces por la misma posición con velocidades opuestas. La fuerza viscosa también cambia de signo, de modo que las aceleraciones no son iguales.

26.9 Situaciones instantáneas características

• En un extremo: v = 0 y la fuerza viscosa se anula; la aceleración es −kx/m.
• En el equilibrio: x = 0 y la fuerza elástica se anula; la aceleración es −bv/m.
• Entre ambos: las dos fuerzas pueden sumarse o contrarrestarse parcialmente.

En el cruce por el equilibrio, la aceleración ya no es cero si la velocidad es distinta de cero.

26.10 Sistema vertical amortiguado

En un resorte vertical, primero localizamos el equilibrio estático y_eq = mg/k. Si definimos x = y − y_eq y el amortiguamiento depende de la velocidad respecto del entorno:

La gravedad desplaza el equilibrio, pero no aparece explícitamente en la ecuación expresada desde ese punto. El término viscoso no cambia porque x e y tienen la misma velocidad.

26.11 Escalas características

La frecuencia natural sin amortiguamiento sigue siendo:

El amortiguamiento introduce una tasa:

También resulta útil la razón adimensional:

ζ compara la intensidad viscosa con las escalas inercial y elástica. En el tema siguiente veremos cómo su valor separa respuestas cualitativamente diferentes.

26.12 Qué podemos anticipar sin resolver la ecuación

Si b es positivo, la fuerza viscosa nunca impulsa al cuerpo en el sentido de su velocidad. Por eso esperamos que el estado se aproxime al equilibrio.

Sin embargo, la palabra “amortiguado” no garantiza que la masa cruce repetidamente el equilibrio. Según m, b y k, puede oscilar o regresar sin sobrepasarlo.

La solución analítica y la clasificación de esos comportamientos se desarrollarán en el tema 27.

26.13 Potencia de la fuerza viscosa

La potencia instantánea transferida por una fuerza es P = Fv. Para el amortiguamiento:

La potencia es cero cuando la masa se detiene momentáneamente y negativa mientras se mueve. Su módulo crece con el cuadrado de la rapidez.

El signo indica que la fuerza viscosa extrae energía mecánica. El decaimiento cuantitativo de amplitud y energía se estudiará en el tema 28.

26.14 Estado y ecuaciones de primer orden

Para programar, representamos el estado mediante x y v:

Los parámetros m, b y k permanecen constantes en el modelo más sencillo.

Esta separación permite reutilizar integradores numéricos y agregar después fuerzas externas sin cambiar la representación básica del estado.

26.15 Paso de Euler semimplícito

Con un paso Δt:

Actualizar primero v suele ser más estable para osciladores que usar la velocidad anterior en la posición.

El método aproxima tanto la dinámica como la disipación; un paso demasiado grande puede agregar errores que no pertenecen al modelo físico.

26.16 Elegir y comprobar Δt

El paso debe ser pequeño frente a las escalas temporales del sistema. Una referencia inicial es tomar muchas decenas o centenas de pasos por período natural 2π/ω₀.

1. Simulá con Δt.
2. Repetí con Δt/2.
3. Compará x y v en los mismos instantes.
4. Reducí nuevamente si la diferencia supera la tolerancia.

La convergencia ayuda a distinguir el amortiguamiento físico de la disipación o inestabilidad numérica.

26.17 Calcular fuerzas con JavaScript

function estadoAmortiguado({ masaKg, kNpm, bNsM, posicionM, velocidadMps }) {
  if (masaKg <= 0 || kNpm <= 0 || bNsM < 0) {
    throw new RangeError("m y k deben ser positivas; b no puede ser negativo");
  }
  const fuerzaElasticaN = -kNpm * posicionM;
  const fuerzaViscosaN = -bNsM * velocidadMps;
  const fuerzaResultanteN = fuerzaElasticaN + fuerzaViscosaN;
  const aceleracionMps2 = fuerzaResultanteN / masaKg;
  const potenciaViscosaW = fuerzaViscosaN * velocidadMps;
  return { fuerzaElasticaN, fuerzaViscosaN,
    fuerzaResultanteN, aceleracionMps2, potenciaViscosaW };
}

console.log(estadoAmortiguado({
  masaKg: 0.50, kNpm: 40, bNsM: 1.20,
  posicionM: 0.08, velocidadMps: -0.50
}));

26.18 Simular la evolución

function simularAmortiguado({ masaKg, kNpm, bNsM, x0M, v0Mps, dtS, pasos }) {
  let x = x0M;
  let v = v0Mps;
  let tiempo = 0;
  const extremos = { minimoM: x, maximoM: x };

  for (let i = 0; i < pasos; i += 1) {
    const a = (-kNpm * x - bNsM * v) / masaKg;
    v += a * dtS;
    x += v * dtS;
    tiempo += dtS;
    extremos.minimoM = Math.min(extremos.minimoM, x);
    extremos.maximoM = Math.max(extremos.maximoM, x);
  }
  return { tiempoS: tiempo, posicionM: x, velocidadMps: v, extremos };
}

console.log(simularAmortiguado({
  masaKg: 0.8, kNpm: 50, bNsM: 2,
  x0M: 0.12, v0Mps: -0.3, dtS: 0.001, pasos: 5000
}));

Los extremos globales no bastan para medir el decaimiento ciclo a ciclo, pero son una primera comprobación de que el estado permanece dentro de un intervalo razonable.

26.19 Laboratorio interactivo: ideal y amortiguado

La curva azul muestra el movimiento que tendría el mismo estado inicial con b = 0. La curva verde integra el modelo viscoso. Compararlas permite separar el cambio debido al amortiguamiento.

• Usá b = 0: las dos curvas deben coincidir salvo el pequeño error numérico.
• Aumentá b: observá cómo cambia el retorno al equilibrio.
• Compará Δt: reiniciá y verificá que un paso menor produzca resultados cercanos.
• Cambiá el signo de v₀: la fuerza viscosa inicial también invierte su signo.

26.20 Errores frecuentes

• Escribir F_b = bv: falta el signo que se opone al movimiento.
• Confundir b con k: tienen unidades y funciones diferentes.
• Suponer que la fuerza viscosa apunta al equilibrio: apunta contra v.
• Concluir que a = 0 en x = 0: el término −bv puede permanecer.
• Aplicar el modelo lineal a cualquier rozamiento: otras fuerzas requieren otras leyes.
• Atribuir toda pérdida al amortiguador: un integrador inadecuado también puede disipar energía numéricamente.

26.21 Ejercicio propuesto

Un bloque de m = 0,80 kg está unido a un resorte de k = 50 N/m y a un amortiguador con b = 2,0 N·s/m. En cierto instante, x = +0,12 m y v = −0,30 m/s.

1. Calculá las fuerzas elástica y viscosa.
2. Obtené la fuerza resultante y la aceleración.
3. Calculá ω₀, γ y ζ.
4. Obtené la potencia de la fuerza viscosa.
5. Realizá un paso de Euler semimplícito con Δt = 0,010 s.

const masaKg = 0.80;
const kNpm = 50;
const bNsM = 2;
let posicionM = 0.12;
let velocidadMps = -0.30;
const dtS = 0.010;

const fuerzaElasticaN = -kNpm * posicionM;
const fuerzaViscosaN = -bNsM * velocidadMps;
const fuerzaResultanteN = fuerzaElasticaN + fuerzaViscosaN;
const aceleracionMps2 = fuerzaResultanteN / masaKg;
const omega0RadS = Math.sqrt(kNpm / masaKg);
const gammaS1 = bNsM / (2 * masaKg);
const zeta = bNsM / (2 * Math.sqrt(kNpm * masaKg));
const potenciaViscosaW = -bNsM * velocidadMps ** 2;
velocidadMps += aceleracionMps2 * dtS;
posicionM += velocidadMps * dtS;

console.log({ fuerzaElasticaN, fuerzaViscosaN, fuerzaResultanteN,
  aceleracionMps2, omega0RadS, gammaS1, zeta,
  potenciaViscosaW, nuevaPosicionM: posicionM,
  nuevaVelocidadMps: velocidadMps });

26.22 Ideas para recordar

• El rozamiento viscoso ideal se modela mediante F_b = −bv.
• b se mide en N·s/m o kg/s.
• La ecuación es mẍ + bẋ + kx = 0.
• La aceleración depende simultáneamente de posición y velocidad.
• En el equilibrio puede existir aceleración por el término viscoso.
• La potencia disipada es −bv².
• ζ compara amortiguamiento, inercia y rigidez.
• Una simulación debe comprobar la convergencia respecto de Δt.