27. Amortiguamiento débil, crítico y sobreamortiguado

27.1 Tres maneras de regresar al equilibrio

Imaginemos que desplazamos una masa unida a un resorte y la soltamos. Si el amortiguamiento es pequeño, la masa cruza el equilibrio repetidas veces. Si es suficientemente intenso, puede aproximarse sin cruzarlo.

Entre ambos comportamientos existe un caso límite: el retorno crítico. Estas respuestas no son tres fuerzas diferentes; son tres soluciones de la misma ecuación para distintos valores de sus parámetros.

27.2 Punto de partida: la ecuación homogénea

Suponemos m > 0, k > 0 y b ≥ 0. La posición x se mide desde el equilibrio y no existe una fuerza externa periódica.

Dividir por m permite ver las escalas del problema:

27.3 Probar una respuesta exponencial

Buscamos funciones cuya derivada conserve la misma forma. Proponemos:

Al reemplazarla en la ecuación y eliminar el factor no nulo Cert, obtenemos:

Esta es la ecuación característica. Sus raíces determinan la forma temporal de la respuesta.

27.4 Raíces y discriminante

El discriminante compara los tres parámetros:

• D < 0: las raíces son complejas y hay oscilación amortiguada.
• D = 0: existe una raíz real doble y el amortiguamiento es crítico.
• D > 0: aparecen dos raíces reales negativas y hay sobreamortiguamiento.

27.5 Coeficiente crítico

La frontera se encuentra imponiendo D = 0:

bc tiene las mismas unidades que b: N·s/m. No es una constante universal; cambia si modificamos la masa o la rigidez.

Por ejemplo, para m = 1 kg y k = 25 N/m, resulta bc = 10 N·s/m.

27.6 Razón de amortiguamiento

Es útil expresar cuánto representa b respecto del valor crítico:

ζ es adimensional y permite comparar sistemas de tamaños y unidades diferentes.

• 0 ≤ ζ < 1: amortiguamiento débil o subamortiguado.
• ζ = 1: amortiguamiento crítico.
• ζ > 1: sobreamortiguamiento.

27.7 Frecuencia natural y tasa de amortiguamiento

ω₀ es la frecuencia angular natural del sistema sin rozamiento. γ mide una tasa de amortiguamiento y tiene unidades de s⁻¹. La comparación entre ambas escalas vuelve a producir los tres regímenes.

27.8 Amortiguamiento débil: ζ < 1

Las raíces tienen una parte real negativa y una parte imaginaria:

La solución real puede escribirse como:

El factor trigonométrico produce cruces del equilibrio; el exponencial reduce progresivamente su tamaño.

27.9 Frecuencia amortiguada

Como ωd < ω₀, el amortiguamiento aumenta el período respecto del oscilador ideal:

Cuando ζ se acerca a 1 desde abajo, ω_d disminuye y este período crece. En ζ = 1 la descripción oscilatoria deja de aplicarse.

27.10 Determinar A y B

Para x(0) = x₀ y v(0) = v₀:

No siempre la masa se suelta desde el reposo. La velocidad inicial cambia la combinación de seno y coseno y puede hacer que el primer extremo sea distinto de x₀.

27.11 Amortiguamiento crítico: ζ = 1

La ecuación característica posee una raíz doble:

Para obtener todas las respuestas independientes aparece un factor t:

Este régimen marca el límite entre oscilar y no oscilar. Para muchas condiciones iniciales representa el retorno no oscilatorio más rápido.

27.12 Constantes en el caso crítico

Al imponer el estado inicial:

La frase “no sobrepasa el equilibrio” suele describir el caso de soltar el sistema desde un desplazamiento con v₀ = 0. Una velocidad inicial dirigida con suficiente intensidad hacia el otro lado puede producir un cruce incluso con ζ ≥ 1. El régimen clasifica las raíces, no garantiza por sí solo la trayectoria para cualquier estado inicial.

27.13 Sobreamortiguamiento: ζ > 1

Las dos raíces son reales, distintas y negativas:

La respuesta es una suma de dos exponenciales:

No contiene senos ni cosenos. Uno de los términos desaparece rápidamente; el asociado a la raíz más cercana a cero domina el retorno tardío.

27.14 Constantes en el caso sobreamortiguado

Con posición y velocidad iniciales conocidas:

Ambas constantes pueden tener signos diferentes. Por eso conviene evaluar la solución completa en vez de imaginar que cada exponencial representa un movimiento independiente.

27.15 Más amortiguamiento no siempre significa volver antes

Aumentar b reduce las oscilaciones, pero un valor muy grande también limita la velocidad. En el régimen sobreamortiguado, la raíz lenta se aproxima a cero cuando b crece y el retorno puede prolongarse.

Esto explica por qué el ajuste crítico es una referencia frecuente en instrumentos, mecanismos de cierre y controles: busca evitar oscilaciones sin introducir una respuesta innecesariamente lenta.

27.16 Tiempo de establecimiento

Decir que el sistema “llegó” al equilibrio requiere una tolerancia. Podemos definir el tiempo de establecimiento como el primer instante a partir del cual:

El valor depende de ε, del estado inicial y del régimen. Como las respuestas exponenciales se acercan asintóticamente, normalmente no alcanzan exactamente x = 0 en un tiempo finito.

27.17 Clasificar un sistema con JavaScript

En cálculos numéricos no conviene exigir igualdad exacta entre números decimales. Usamos una tolerancia para reconocer el caso crítico.

function clasificarRegimen(masaKg, kNpm, bNsM, tolerancia = 1e-9) {
  if (masaKg <= 0 || kNpm <= 0 || bNsM < 0) {
    throw new RangeError("Se requiere m > 0, k > 0 y b >= 0");
  }

  const bCritico = 2 * Math.sqrt(masaKg * kNpm);
  const zeta = bNsM / bCritico;
  const diferenciaRelativa = (bNsM - bCritico) / bCritico;
  let regimen;

  if (Math.abs(diferenciaRelativa) <= tolerancia) regimen = "crítico";
  else if (bNsM < bCritico) regimen = "débil";
  else regimen = "sobreamortiguado";

  return { bCritico, zeta, regimen };
}

console.log(clasificarRegimen(1, 25, 6));

El resultado es { bCritico: 10, zeta: 0.6, regimen: "débil" }.

27.18 Calcular la respuesta en cualquier régimen

La siguiente función selecciona la fórmula adecuada y evita dividir por una frecuencia amortiguada casi nula alrededor del caso crítico.

function posicionAmortiguada(tS, { masaKg, kNpm, bNsM, x0M, v0Mps }) {
  const omega0 = Math.sqrt(kNpm / masaKg);
  const gamma = bNsM / (2 * masaKg);
  const zeta = gamma / omega0;
  const tolerancia = 1e-8;

  if (zeta < 1 - tolerancia) {
    const omegaD = Math.sqrt(omega0 ** 2 - gamma ** 2);
    const B = (v0Mps + gamma * x0M) / omegaD;
    return Math.exp(-gamma * tS) *
      (x0M * Math.cos(omegaD * tS) + B * Math.sin(omegaD * tS));
  }

  if (Math.abs(zeta - 1) <= tolerancia) {
    const B = v0Mps + omega0 * x0M;
    return (x0M + B * tS) * Math.exp(-omega0 * tS);
  }

  const raiz = Math.sqrt(bNsM ** 2 - 4 * masaKg * kNpm);
  const r1 = (-bNsM + raiz) / (2 * masaKg);
  const r2 = (-bNsM - raiz) / (2 * masaKg);
  const C1 = (v0Mps - r2 * x0M) / (r1 - r2);
  const C2 = x0M - C1;
  return C1 * Math.exp(r1 * tS) + C2 * Math.exp(r2 * tS);
}

const sistema = { masaKg: 1, kNpm: 25, bNsM: 10, x0M: 0.1, v0Mps: 0 };
console.log(posicionAmortiguada(0.5, sistema).toFixed(5), "m");

27.19 Laboratorio: comparar los tres regímenes

La curva verde representa el valor actual de b. La naranja muestra, como referencia, la respuesta crítica del mismo sistema. Ambas parten del estado indicado en los controles.

• Probá los tres botones manteniendo el mismo estado inicial.
• Aumentá la masa: el valor crítico también aumenta.
• Aumentá k: el movimiento natural es más rápido y cambia la frontera entre regímenes.
• Elegí una velocidad inicial negativa intensa y comprobá que el cruce también depende del estado inicial.

27.20 Procedimiento para resolver problemas

1. Medí x desde la posición de equilibrio.
2. Identificá m, k, b, x₀ y v₀ con unidades coherentes.
3. Calculá bc = 2√(mk) o ζ.
4. Elegí la forma de solución correspondiente al régimen.
5. Determiná las constantes a partir de x₀ y v₀.
6. Comprobá posición y velocidad en t = 0.
7. Interpretá cruces, tiempos y signos sin confundirlos con redondeos numéricos.

27.21 Errores frecuentes

• Comparar b directamente con 1: debe compararse con 2√(mk).
• Usar ω₀ como frecuencia amortiguada: en el régimen débil, ωd = ω₀√(1 − ζ²).
• Aplicar senos y cosenos cuando ζ ≥ 1: la forma de la solución cambia.
• Creer que el crítico siempre cruza el equilibrio: con reposo inicial normalmente no lo hace.
• Creer que nunca puede cruzarlo: una velocidad inicial suficiente sí puede producir un cruce.
• Suponer que un b enorme acelera el retorno: el sobreamortiguamiento puede volverlo más lento.
• Comparar números flotantes con igualdad estricta: cerca del caso crítico se necesita una tolerancia.

27.22 Ejercicio resuelto

Un sistema tiene m = 0,50 kg, k = 32 N/m, x₀ = 0,08 m y v₀ = 0. Clasificá las respuestas para b = 4, 8 y 12 N·s/m. Para el primer caso calculá ω_d y x a los 0,20 s.

const masaKg = 0.5;
const kNpm = 32;
const x0M = 0.08;
const v0Mps = 0;
const bNsM = 4;
const tS = 0.2;

const omega0 = Math.sqrt(kNpm / masaKg);
const bCritico = 2 * Math.sqrt(masaKg * kNpm);
const zeta = bNsM / bCritico;
const gamma = bNsM / (2 * masaKg);
const omegaD = Math.sqrt(omega0 ** 2 - gamma ** 2);
const A = x0M;
const B = (v0Mps + gamma * x0M) / omegaD;
const posicionM = Math.exp(-gamma * tS) *
  (A * Math.cos(omegaD * tS) + B * Math.sin(omegaD * tS));

console.log({ bCritico, zeta, omega0, omegaD, posicionM });

27.23 Ideas para recordar

• La clasificación surge del discriminante b² − 4mk.
• El coeficiente crítico es bc = 2√(mk).
• La razón ζ = b/bc permite comparar sistemas.
• Con ζ < 1 hay una respuesta exponencial multiplicada por una oscilación.
• Con ζ = 1 aparece una raíz doble y el retorno crítico.
• Con ζ > 1 la respuesta suma dos exponenciales reales.
• El estado inicial también influye en los cruces del equilibrio.
• El amortiguamiento crítico evita oscilaciones sin la lentitud excesiva de un b muy grande.