28. Decaimiento de la amplitud y disipación de energía

28.1 Qué significa que una oscilación se apague

Un oscilador amortiguado no suele perder la misma cantidad de amplitud en cada segundo. En el modelo viscoso, lo característico es perder una misma proporción durante intervalos iguales.

Por eso la reducción se describe mediante una exponencial. Al principio el cambio absoluto es grande; más tarde es pequeño, aunque la proporción siga obedeciendo la misma regla.

28.2 Alcance: régimen débil

Estudiaremos principalmente el caso 0 < ζ < 1, cuya posición es:

Recordemos:

Los casos crítico y sobreamortiguado también disipan energía, pero no poseen una sucesión periódica de amplitudes máximas.

28.3 Forma amplitud-fase

La combinación de seno y coseno puede escribirse con una amplitud inicial R y una fase φ:

Las constantes se relacionan mediante:

R es el valor de la envolvente en t = 0. No tiene por qué coincidir con |x(0)|, pues la fase inicial puede situar al sistema lejos de un extremo.

28.4 La envolvente exponencial

Como el coseno permanece entre −1 y +1, la oscilación queda contenida entre:

La amplitud de la envolvente es:

Esta curva no es una fuerza ni una trayectoria adicional: es un límite suave que conecta el tamaño de los extremos.

28.5 Cociente de amplitudes

Entre dos instantes separados por Δt:

El cociente no depende del instante inicial. Por ejemplo, si vale 0,8, cada intervalo elegido deja el 80 % de la amplitud anterior.

28.6 Constante de tiempo de la amplitud

Definimos:

Después de una constante de tiempo:

Una τ pequeña indica un apagado rápido. Como γ se mide en s⁻¹, τ se mide en segundos.

28.7 Semivida de la amplitud

La semivida es el tiempo necesario para que la envolvente quede reducida a la mitad:

Cada nueva semivida vuelve a dividir por dos la amplitud: 1, 1/2, 1/4, 1/8…

28.8 Extremos sucesivos y decremento logarítmico

Dos máximos del mismo signo están separados por un período amortiguado Td. El decremento logarítmico se define como:

También pueden utilizarse extremos separados por N ciclos:

Usar varios ciclos reduce la influencia del error de lectura.

28.9 Relación entre δ y ζ

Como Td = 2π/ωd, resulta:

Esta relación puede invertirse:

Así podemos estimar ζ midiendo picos de una señal, sin conocer primero m, k y b por separado.

28.10 Estimar el amortiguamiento desde datos

Si m es conocida, una secuencia de máximos permite obtener:

1. el período amortiguado Td entre máximos;
2. δ mediante sus alturas;
3. γ = δ/Td;
4. b = 2mγ.

Los máximos comparados deben ser del mismo signo o deben usarse sus valores absolutos con la separación temporal correcta.

28.11 Energía mecánica instantánea

Para una masa y un resorte ideales sometidos además a rozamiento viscoso:

La energía alterna entre cinética y potencial mientras su total disminuye. En un instante de retorno, v = 0 y toda la energía mecánica es elástica. Al cruzar el equilibrio, x = 0 y toda es cinética.

28.12 Tasa exacta de disipación

Derivamos la energía y usamos mẍ + bẋ + kx = 0:

La energía nunca aumenta por acción del amortiguador. La pérdida es máxima cuando |v| es grande y momentáneamente nula en los extremos, donde v = 0.

28.13 Tendencia del decaimiento energético

Como posición y velocidad tienen una escala que decrece aproximadamente con e−γt, la energía —cuadrática en ambas— sigue la tendencia:

Esta expresión describe exactamente el cociente de energías al comparar estados separados por períodos completos, y describe la energía media por ciclo en el régimen débil. La energía instantánea puede ondular alrededor de esa tendencia porque la pérdida −bv² no es uniforme durante el ciclo.

28.14 La energía decae dos veces más rápido

El exponente energético es el doble del exponente de amplitud:

Cuando la amplitud se reduce a la mitad, la escala energética se reduce a un cuarto, no a la mitad.

28.15 Energía disipada y balance

Si el amortiguador es la única interacción no conservativa:

La energía mecánica no desaparece: se transfiere principalmente a energía interna del amortiguador y del entorno. El modelo mecánico registra esa transferencia como una disminución de E.

28.16 Factor de calidad Q

En un oscilador débilmente amortiguado se define:

Un Q grande indica que la energía disminuye lentamente y que sobreviven muchos ciclos. Un Q pequeño corresponde a una disipación más intensa.

Para amortiguamiento muy débil, la fracción de energía perdida por ciclo es aproximadamente 2π/Q. Esta aproximación deja de ser adecuada si la pérdida por ciclo ya no es pequeña.

28.17 Calcular indicadores con JavaScript

function indicadoresDecaimiento(masaKg, kNpm, bNsM) {
  if (masaKg <= 0 || kNpm <= 0 || bNsM <= 0) {
    throw new RangeError("m, k y b deben ser positivos");
  }

  const omega0 = Math.sqrt(kNpm / masaKg);
  const gamma = bNsM / (2 * masaKg);
  const zeta = gamma / omega0;
  if (zeta >= 1) throw new RangeError("Se requiere un régimen débil: zeta < 1");

  const omegaD = Math.sqrt(omega0 ** 2 - gamma ** 2);
  const periodoD = 2 * Math.PI / omegaD;
  const decremento = gamma * periodoD;
  return {
    gamma,
    periodoD,
    decremento,
    semividaAmplitud: Math.log(2) / gamma,
    semividaEnergia: Math.log(2) / (2 * gamma),
    factorQ: omega0 / (2 * gamma)
  };
}

console.log(indicadoresDecaimiento(1, 25, 2));

28.18 Detectar picos medidos

En datos muestreados, un punto es un máximo local si supera a sus dos vecinos. Este criterio sencillo supone una señal suficientemente limpia.

function maximosPositivos(muestras) {
  const picos = [];
  for (let i = 1; i < muestras.length - 1; i += 1) {
    const anterior = muestras[i - 1];
    const actual = muestras[i];
    const siguiente = muestras[i + 1];
    if (actual.x > 0 && actual.x > anterior.x && actual.x >= siguiente.x) {
      picos.push(actual);
    }
  }
  return picos;
}

const datos = [
  { t: 0, x: 0.10 }, { t: 0.2, x: 0.02 }, { t: 0.4, x: -0.07 },
  { t: 0.6, x: 0.01 }, { t: 0.8, x: 0.06 }, { t: 1.0, x: 0.01 },
  { t: 1.2, x: -0.04 }, { t: 1.4, x: 0.01 }, { t: 1.6, x: 0.035 },
  { t: 1.8, x: 0.005 }
];

console.log(maximosPositivos(datos));

En mediciones reales suele ser necesario suavizar el ruido, exigir una prominencia mínima e interpolar el instante del máximo.

28.19 Laboratorio de amplitud y energía

La gráfica superior muestra posición y envolventes. La inferior compara la energía mecánica instantánea con la tendencia exponencial, ambas normalizadas por la energía inicial.

• Reducí ζ y observá cuántos ciclos sobreviven antes de que la envolvente se vuelva pequeña.
• Compará las dos semividas: la energética siempre vale la mitad de la de amplitud.
• Verificá que la energía instantánea no sigue exactamente la línea exponencial dentro de cada ciclo.
• Cambiá R₀: las escalas absolutas cambian, pero δ, las semividas y Q permanecen iguales.

28.20 Simular y comprobar el balance energético

Una integración numérica permite verificar que la caída de energía concuerda con el trabajo del amortiguador.

function simularEnergia({ m, k, b, x0, v0, dt, duracion }) {
  let t = 0;
  let x = x0;
  let v = v0;
  let trabajoDisipadoJ = 0;
  const energiaInicialJ = 0.5 * m * v ** 2 + 0.5 * k * x ** 2;

  while (t < duracion) {
    const paso = Math.min(dt, duracion - t);
    const potenciaW = -b * v ** 2;
    trabajoDisipadoJ += potenciaW * paso;
    const aceleracion = (-k * x - b * v) / m;
    v += aceleracion * paso;
    x += v * paso;
    t += paso;
  }

  const energiaFinalJ = 0.5 * m * v ** 2 + 0.5 * k * x ** 2;
  return { energiaInicialJ, energiaFinalJ, trabajoDisipadoJ,
    errorBalanceJ: energiaFinalJ - energiaInicialJ - trabajoDisipadoJ };
}

console.log(simularEnergia({
  m: 1, k: 25, b: 1, x0: 0.12, v0: -0.06, dt: 0.0005, duracion: 5
}));

El error no será exactamente cero porque potencia y estado se aproximan en pasos discretos. Al reducir Δt debería disminuir de forma consistente.

28.21 Verificaciones numéricas recomendadas

• Comprobar que los picos quedan dentro de las envolventes.
• Comparar el cociente de máximos con e−δ.
• Verificar que E ≥ 0 y que su tendencia sea decreciente.
• Comparar E(t) − E(0) con la suma numérica de −bv²Δt.
• Repetir con Δt/2 para separar disipación física de error numérico.
• Usar tolerancias al detectar máximos o comparar balances.

28.22 Errores frecuentes

• Restar una cantidad fija a cada amplitud: el modelo predice una reducción proporcional.
• Confundir γ con ζ: γ tiene unidades de s⁻¹; ζ es adimensional.
• Afirmar que la energía decae igual que la amplitud: su exponente característico es el doble.
• Tomar E = E₀e−2γt como identidad instantánea: describe una tendencia o comparaciones a igual fase.
• Esperar disipación máxima en los extremos: allí v = 0 y la potencia viscosa es nula.
• Comparar un máximo positivo con el mínimo siguiente: están separados por medio período, no por uno completo.
• Aplicar decremento logarítmico a una respuesta no oscilatoria: no existe una sucesión periódica de picos.

28.23 Ejercicio resuelto

Un oscilador débil tiene m = 0,80 kg, k = 20 N/m y b = 0,80 N·s/m. Su envolvente inicial vale R₀ = 0,10 m. Calculá γ, ζ, T_d, δ, las semividas y la envolvente después de tres períodos.

28.24 Ideas para recordar

• En el régimen débil, la envolvente de amplitud es R₀e−γt.
• τR = 1/γ y t1/2,R = ln(2)/γ.
• El decremento δ mide la reducción entre máximos del mismo signo.
• La disipación instantánea cumple dE/dt = −bv².
• La tendencia energética decae como e−2γt.
• La semivida energética es la mitad de la semivida de amplitud.
• Q indica cuántos ciclos puede conservar apreciablemente un oscilador débil.
• Un balance numérico debe separar la disipación física del error del integrador.