29. Oscilaciones forzadas y respuesta a una acción periódica

29.1 Mantener una oscilación

Un columpio recibe empujes, un altavoz recibe una señal eléctrica y la suspensión de un vehículo responde a irregularidades repetidas. En todos estos casos el sistema intercambia energía con una acción externa que cambia con el tiempo.

Cuando esa acción se repite periódicamente hablamos de una oscilación forzada. El movimiento ya no depende solamente de las propiedades internas y del estado inicial.

29.2 Oscilación libre y oscilación forzada

En una oscilación libre, luego de preparar el estado inicial, no aplicamos una fuerza externa dependiente del tiempo:

En una oscilación forzada agregamos una entrada conocida:

El lado izquierdo describe la respuesta del sistema. El lado derecho representa la acción del entorno sobre él.

29.3 Fuerza sinusoidal

La excitación periódica más sencilla se escribe:

• F₀ es la amplitud de la fuerza, en newtons.
• ω es su frecuencia angular, en radianes por segundo.
• α fija la fase de la fuerza en t = 0.

El coseno no implica una orientación espacial circular: simplemente describe cómo varía una componente de fuerza a lo largo del tiempo.

29.4 Período y frecuencia de excitación

ω se expresa en rad/s, f en hertz y T en segundos. Estas tres cantidades pertenecen a la fuerza externa, no necesariamente al movimiento libre del sistema.

29.5 Dos frecuencias que no deben confundirse

ω₀ surge de masa y rigidez. En cambio, ω es elegida por quien aplica la fuerza. Compararlas resulta esencial para interpretar la respuesta.

En este tema observaremos cualitativamente esa comparación. El fenómeno de resonancia y la ubicación de sus máximos se desarrollarán en el tema siguiente.

29.6 Ecuación completa del modelo

Despejando la aceleración:

Ahora la aceleración depende explícitamente del tiempo, además de la posición y la velocidad.

29.7 Estado y parámetros necesarios

Para predecir el movimiento necesitamos:

• estado inicial: t₀, x₀ y v₀;
• parámetros del sistema: m, b y k;
• parámetros de la entrada: F₀, ω y α.

Omitir α equivale normalmente a elegir α = 0, de modo que la fuerza comienza en su máximo positivo.

29.8 La linealidad permite superponer respuestas

La ecuación es lineal mientras m, b y k sean constantes y la fuerza del resorte sea −kx. Su solución total puede separarse conceptualmente:

La primera parte satisface la ecuación sin fuerza externa. La segunda es una respuesta particular producida por la entrada periódica.

29.9 Respuesta transitoria

La parte transitoria ajusta la solución para cumplir x₀ y v₀. Tiene la misma naturaleza que la oscilación amortiguada libre estudiada anteriormente.

Si b > 0, su influencia disminuye con el tiempo. Dos experimentos con distintos estados iniciales terminan acercándose a la misma respuesta periódica si comparten sistema y fuerza externa.

29.10 Respuesta estacionaria

Después de que el transitorio se vuelve despreciable, permanece una respuesta que repite el ritmo de la fuerza:

También puede escribirse como una sola sinusoide de amplitud y fase determinadas por m, b, k y ω. Esas expresiones se deducirán en el tema 31.

29.11 Sincronización en frecuencia

En el régimen estacionario lineal, la posición oscila con la frecuencia ω impuesta por la fuerza. Esto no significa que posición y fuerza alcancen sus máximos al mismo tiempo: puede existir un desfase.

Durante el transitorio pueden observarse simultáneamente la frecuencia asociada al sistema y la de la excitación, produciendo una forma más compleja.

29.12 Por qué importa el amortiguamiento

El amortiguador disipa parte de la energía que entrega la fuerza externa. Gracias a ese balance, el sistema puede alcanzar una respuesta estacionaria acotada.

Sin amortiguamiento, ciertas elecciones ideales de frecuencia pueden impedir que se establezca una amplitud limitada. Analizaremos esa situación al estudiar resonancia.

29.13 Encender una fuerza también crea un transitorio

Aunque la fuerza sea sinusoidal, comenzar a aplicarla en un instante concreto constituye un cambio. El sistema debe pasar desde su estado inicial a la respuesta compatible con esa entrada.

El transitorio depende de cómo se enciende la fuerza: de golpe, mediante una rampa o después de preparar el sistema en un estado particular. Por eso las primeras oscilaciones no deben confundirse con el régimen de largo plazo.

29.14 Fuerza, desplazamiento y velocidad

Una fuerza positiva no garantiza una aceleración positiva, porque también actúan el resorte y el amortiguador:

Del mismo modo, el signo de la potencia externa depende de la velocidad, no de la posición.

29.15 Balance instantáneo de energía

Con E = ½mv² + ½kx²:

• Fextv > 0: la fuerza externa entrega energía mecánica.
• Fextv < 0: el sistema devuelve energía al agente externo.
• −bv² ≤ 0: el amortiguador siempre retira energía mecánica.

En un régimen estacionario, la energía almacenada al inicio y al final de cada ciclo es la misma; por eso el aporte neto externo compensa la disipación del ciclo.

29.16 Entradas periódicas no sinusoidales

Una fuerza puede repetirse mediante pulsos, dientes de sierra o tramos constantes. La sinusoide es el caso fundamental porque la respuesta de un sistema lineal a cada componente sinusoidal puede estudiarse por separado y luego superponerse.

En una simulación no es obligatorio disponer de una fórmula cerrada: basta con poder evaluar Fext(t) en cada paso.

29.17 Representar la fuerza como una función

function crearFuerzaSinusoidal(amplitudN, omegaRadS, faseRad = 0) {
  if (amplitudN < 0 || omegaRadS <= 0) {
    throw new RangeError("F0 debe ser no negativa y omega debe ser positiva");
  }
  return tiempoS => amplitudN * Math.cos(omegaRadS * tiempoS + faseRad);
}

const fuerza = crearFuerzaSinusoidal(2, 3, Math.PI / 6);
console.log([0, 0.25, 0.5].map(tiempoS => ({
  tiempoS,
  fuerzaN: fuerza(tiempoS)
})));

Separar la entrada del integrador permite reemplazarla sin modificar las reglas del oscilador.

29.18 Estado de primer orden

Para integrar la ecuación de segundo orden usamos posición y velocidad:

El tiempo debe formar parte explícita del estado o del contexto de actualización, porque la fuerza cambia aunque x y v fueran momentáneamente iguales.

29.19 Paso de Euler semimplícito

Δt debe resolver tanto la oscilación propia como la fuerza aplicada. Una excitación rápida puede exigir un paso pequeño aunque ω₀ sea moderada.

29.20 Simulación reutilizable en JavaScript

function simularForzado({ m, k, b, fuerza, x0, v0, dt, duracion }) {
  if (m <= 0 || k <= 0 || b < 0 || dt <= 0 || duracion < 0) {
    throw new RangeError("Parámetros físicos o temporales inválidos");
  }

  let t = 0;
  let x = x0;
  let v = v0;
  const muestras = [{ t, x, v, fuerzaN: fuerza(t) }];

  while (t < duracion) {
    const paso = Math.min(dt, duracion - t);
    const fuerzaN = fuerza(t);
    const a = (fuerzaN - b * v - k * x) / m;
    v += a * paso;
    x += v * paso;
    t += paso;
    muestras.push({ t, x, v, fuerzaN: fuerza(t) });
  }
  return muestras;
}

const fuerza = t => 2 * Math.cos(3 * t);
const datos = simularForzado({
  m: 1, k: 16, b: 1.2, fuerza, x0: 0, v0: 0, dt: 0.002, duracion: 8
});
console.log({ cantidad: datos.length, estadoFinal: datos.at(-1) });

29.21 Laboratorio de respuesta forzada

El laboratorio integra la ecuación desde el reposo. La gráfica superior usa newtons y la inferior metros; el cursor vertical selecciona un mismo instante en ambas.

• Desplazá lentamente el instante y observá que la posición necesita un transitorio para organizarse.
• Cambiá α: la fuerza inicial cambia, aunque m, b, k, F₀ y ω permanezcan iguales.
• Probá frecuencias distintas y compará la escala de la respuesta sin extraer todavía conclusiones generales de un único caso.
• Aumentá b y observá cómo desaparece más rápidamente la influencia del inicio.

29.22 Verificar una simulación forzada

• Con F₀ = 0 debe recuperarse la oscilación libre amortiguada.
• En t = 0, la muestra debe coincidir exactamente con x₀ y v₀.
• La fuerza debe repetir sus valores después de 2π/ω.
• Dos pasos temporales menores deben producir curvas cercanas.
• En régimen estacionario, los ciclos sucesivos deben volverse repetibles.
• El cambio de energía debe concordar con la suma de potencia externa y potencia disipada.

29.23 Errores frecuentes y ejercicio resuelto

• Usar ω como si fuera ω₀: una pertenece a la entrada y la otra al sistema.
• Olvidar la fase α: determina la fuerza en el instante inicial.
• Analizar sólo los primeros ciclos: pueden estar dominados por el transitorio.
• Comparar gráficamente fuerza y posición con la misma unidad: son magnitudes diferentes.
• Evaluar siempre la fuerza en t = 0: debe actualizarse en cada paso.
• Suponer que la fuerza siempre entrega energía: Fextv también puede ser negativa.

Consideremos m = 1 kg, k = 16 N/m, b = 1,2 N·s/m, F₀ = 2 N, ω = 3 rad/s, α = 0, x₀ = 0 y v₀ = 0. Calculá ω₀, el período de la fuerza, la aceleración inicial y el primer paso semimplícito con Δt = 0,01 s.

const mKg = 1;
const kNpm = 16;
const bNsM = 1.2;
const f0N = 2;
const omegaRadS = 3;
const faseRad = 0;
const dtS = 0.01;
let tS = 0;
let xM = 0;
let vMps = 0;

const fuerzaN = f0N * Math.cos(omegaRadS * tS + faseRad);
const aceleracionMps2 = (fuerzaN - bNsM * vMps - kNpm * xM) / mKg;
vMps += aceleracionMps2 * dtS;
xM += vMps * dtS;
tS += dtS;

console.log({ omega0RadS: Math.sqrt(kNpm / mKg),
  periodoFuerzaS: 2 * Math.PI / omegaRadS,
  fuerzaN, aceleracionMps2, tS, xM, vMps });

29.24 Ideas para recordar

• Una oscilación forzada incluye una entrada externa dependiente del tiempo.
• La ecuación es mẍ + bẋ + kx = Fext(t).
• ω₀ caracteriza al sistema; ω caracteriza a la excitación.
• La respuesta total combina una parte transitoria y una estacionaria.
• Con amortiguamiento, el transitorio disminuye y queda una respuesta a la frecuencia de la entrada.
• La potencia externa es Fextv y puede tener ambos signos.
• En el régimen periódico, la energía externa neta compensa la disipación.
• La simulación debe actualizar la fuerza con el tiempo y comprobar convergencia respecto de Δt.