30. Resonancia, frecuencia natural y efecto del amortiguamiento

30.1 Un empuje pequeño puede producir una respuesta grande

Si empujamos un columpio con un ritmo adecuado, cada acción puede reforzar el movimiento anterior. Un empuje más intenso pero aplicado con otro ritmo quizá produzca menos desplazamiento.

La resonancia es la respuesta acentuada de un sistema ante determinadas frecuencias de excitación. No depende sólo de la magnitud de la fuerza: también importan su frecuencia, el amortiguamiento y las propiedades del sistema.

30.2 Recordatorio del oscilador forzado

m representa la inercia, k la rigidez, b el amortiguamiento y ω la frecuencia angular impuesta. Elegimos fase inicial cero para concentrarnos en el efecto de la frecuencia.

El estado inicial genera una respuesta transitoria. La comparación de amplitudes se realiza después de que ese transitorio se vuelve despreciable.

30.3 Frecuencia natural

Sin fuerza externa ni amortiguamiento, la frecuencia angular propia es:

Aumentar k eleva ω₀; aumentar m la reduce. Esta frecuencia pertenece al sistema y no cambia porque el agente externo elija otro ritmo.

30.4 Cociente de frecuencias

Definimos una variable adimensional:

• r < 1: excitación más lenta que el movimiento natural.
• r = 1: ambas frecuencias coinciden.
• r > 1: excitación más rápida.

Usar r permite comparar curvas de sistemas con frecuencias naturales diferentes.

30.5 Acumulación coherente de energía

La fuerza externa entrega potencia P = Fextv. Para aumentar sostenidamente la energía, debe actuar de manera que su aporte positivo a lo largo del ciclo supere la energía devuelta y la disipada.

Cerca de la resonancia, la relación temporal entre fuerza y movimiento favorece esa transferencia acumulativa. No basta con que dos máximos ocurran simultáneamente: la potencia depende de fuerza y velocidad.

30.6 Caso ideal fuera de la frecuencia natural

Si b = 0 y ω ≠ ω₀, una solución particular es:

El denominador disminuye en módulo al acercarnos a ω₀. La fórmula anticipa una respuesta grande, pero deja de ser válida exactamente cuando k − mω² = 0.

30.7 Resonancia ideal

Para b = 0 y ω = ω₀, debemos buscar otra forma de solución. Si el sistema parte del reposo en el equilibrio:

La envolvente crece linealmente con t. Cada ciclo agrega energía de forma coherente y el modelo ideal no establece una amplitud estacionaria finita.

30.8 Por qué el crecimiento infinito no es físico

Antes de alcanzar desplazamientos ilimitados aparecen límites que el modelo lineal omitió:

• disipación inevitable;
• elasticidad no lineal;
• deformaciones permanentes o rotura;
• límites geométricos y contactos;
• capacidad finita del actuador.

El crecimiento ideal es valioso porque muestra el mecanismo, no porque prediga amplitudes infinitas en un objeto real.

30.9 El amortiguamiento limita la respuesta

Con b > 0, la energía disipada crece cuando aumenta la velocidad. Finalmente puede equilibrar el aporte neto de la fuerza externa y producir una respuesta periódica acotada.

El máximo se transforma en un pico de altura y ancho finitos. Cuanto mayor es el amortiguamiento, más bajo y más ancho suele ser ese pico.

30.10 Factor de amplificación dinámica

La deformación estática que produciría una fuerza constante F₀ es:

Para la respuesta periódica amortiguada definimos:

El resultado para una excitación sinusoidal es:

En el tema siguiente se obtendrá esta expresión junto con el desfase. Aquí la usamos para localizar y comparar el pico de respuesta.

30.11 Respuesta a baja y alta frecuencia

• Si r → 0, entonces M → 1: el sistema sigue casi estáticamente a la fuerza.
• Si r → ∞, entonces M → 0: la inercia impide seguir una entrada muy rápida.
• Entre ambos límites puede aparecer un máximo, según ζ.

Estas tendencias son comprobaciones útiles para una fórmula o un programa.

30.12 Frecuencia del máximo de desplazamiento

Al minimizar el denominador de M se obtiene:

Esta frecuencia real y positiva existe como máximo interior sólo si:

Con amortiguamiento débil, ω_r está apenas por debajo de ω₀. No deben tratarse como exactamente iguales salvo como aproximación.

30.13 Altura del pico

Al evaluar M en ω_r:

La expresión se aplica cuando existe el máximo interior. Si ζ aumenta hacia 1/√2, el pico deja de distinguirse de la respuesta de baja frecuencia.

30.14 Coincidencia de frecuencias no define todos los máximos

La palabra resonancia puede referirse a máximos de desplazamiento, velocidad, energía o potencia. Esas cantidades no necesariamente alcanzan su máximo en la misma frecuencia cuando hay amortiguamiento.

En este tema, ωr nombra específicamente el máximo de amplitud de desplazamiento. La respuesta de potencia se estudiará en el tema 31.

30.15 Efecto de F₀ y efecto de b

Mientras el modelo sea lineal, duplicar F₀ duplica X en todas las frecuencias, pero no cambia M ni la ubicación del pico.

Modificar b cambia ζ = b/(2√(mk)). Por lo tanto altera la altura, el ancho y, en el caso del desplazamiento, la frecuencia del máximo.

30.16 El transitorio puede ocultar el pico

Una simulación iniciada desde x = 0 y v = 0 combina respuesta libre y forzada. Con poco amortiguamiento, pueden necesitarse muchos ciclos para que la amplitud observada se aproxime a la estacionaria.

Un barrido demasiado rápido o una medición sobre los primeros ciclos puede estimar mal el pico. Cada frecuencia necesita suficiente tiempo de establecimiento.

30.17 Resonancia, diseño y seguridad

La resonancia puede ser útil en sensores, instrumentos y mecanismos selectivos. También puede provocar vibraciones indeseadas, ruido, pérdida de precisión o fatiga estructural.

Las estrategias habituales incluyen cambiar masa o rigidez para desplazar ω₀, aumentar la disipación, reducir la fuerza periódica o evitar operar cerca del intervalo crítico. Un modelo debe complementarse con márgenes y datos reales.

30.18 Calcular indicadores de resonancia con JavaScript

function indicadoresResonancia(masaKg, kNpm, bNsM) {
  if (masaKg <= 0 || kNpm <= 0 || bNsM < 0) {
    throw new RangeError("Se requiere m > 0, k > 0 y b >= 0");
  }

  const omega0 = Math.sqrt(kNpm / masaKg);
  const zeta = bNsM / (2 * Math.sqrt(masaKg * kNpm));
  const existePico = zeta < 1 / Math.sqrt(2);
  const omegaPico = existePico
    ? omega0 * Math.sqrt(1 - 2 * zeta ** 2)
    : null;
  const amplificacionMaxima = existePico && zeta > 0
    ? 1 / (2 * zeta * Math.sqrt(1 - zeta ** 2))
    : zeta === 0 ? Infinity : null;

  return { omega0, zeta, existePico, omegaPico, amplificacionMaxima };
}

console.log(indicadoresResonancia(1, 25, 2));

30.19 Barrido numérico de frecuencias

Además de usar la fórmula del máximo, podemos muestrear una curva y conservar el mayor valor. Esta estrategia se generaliza a modelos sin solución cerrada.

function amplificacion(r, zeta) {
  return 1 / Math.sqrt((1 - r ** 2) ** 2 + (2 * zeta * r) ** 2);
}

function buscarPico(zeta, rMin = 0, rMax = 2.5, pasos = 10000) {
  let mejor = { r: rMin, M: amplificacion(rMin, zeta) };
  for (let i = 1; i <= pasos; i += 1) {
    const r = rMin + (rMax - rMin) * i / pasos;
    const M = amplificacion(r, zeta);
    if (M > mejor.M) mejor = { r, M };
  }
  return mejor;
}

console.log(buscarPico(0.2));

La precisión en r depende del tamaño del paso. Para localizar mejor el máximo podemos refinar el intervalo alrededor del mejor punto.

30.20 Simular la resonancia ideal

La solución ideal permite comprobar que la envolvente crece proporcionalmente al tiempo:

function resonanciaIdeal(tS, { masaKg, omega0RadS, fuerza0N }) {
  const pendienteEnvolvente = fuerza0N / (2 * masaKg * omega0RadS);
  const posicionM = pendienteEnvolvente * tS * Math.sin(omega0RadS * tS);
  const envolventeM = pendienteEnvolvente * tS;
  return { tS, posicionM, envolventeM };
}

const sistema = { masaKg: 1, omega0RadS: 5, fuerza0N: 0.5 };
console.log([2, 4, 8].map(tS => resonanciaIdeal(tS, sistema)));

Duplicar el tiempo duplica la envolvente ideal. Esta regla no debe extrapolarse más allá del rango en que el sistema real sea lineal.

30.21 Laboratorio de respuesta en frecuencia

La curva muestra M entre r = 0 y r = 2,5. La línea naranja marca ω = ω₀ y el punto violeta representa la frecuencia seleccionada.

• Reducí b y observá cómo el pico se vuelve más alto y angosto.
• Usá ω₀ y luego ω_r: con amortiguamiento, los puntos no coinciden exactamente.
• Aumentá b hasta que desaparezca un máximo interior.
• Cambiá F₀: X cambia proporcionalmente, pero la curva adimensional M permanece igual.

30.22 Verificaciones y errores frecuentes

• Medir antes de terminar el transitorio: no se obtiene la amplitud estacionaria.
• Afirmar siempre que ω_r = ω₀: el máximo de desplazamiento se desplaza si b > 0.
• Esperar un pico para cualquier ζ: con ζ ≥ 1/√2 M no posee un máximo interior.
• Confundir amplitud absoluta con amplificación: X = (F₀/k)M.
• Usar el crecimiento ideal en un sistema amortiguado: con b > 0 la respuesta estacionaria es finita.
• Buscar el máximo con muy pocas frecuencias: un pico angosto puede quedar entre muestras.
• Ignorar los límites físicos: una respuesta grande puede invalidar el modelo lineal.

30.23 Ejercicio resuelto

Un oscilador tiene m = 2 kg, k = 200 N/m, b = 8 N·s/m y recibe una fuerza de amplitud F₀ = 10 N. Calculá ω₀, ζ, la frecuencia del pico de desplazamiento, M_máx y X_máx.

30.24 Ideas para recordar

• La resonancia es una respuesta acentuada asociada a la frecuencia de excitación.
• ω₀ = √(k/m) caracteriza al oscilador; r = ω/ω₀ compara la entrada con él.
• Sin amortiguamiento y con ω = ω₀, la envolvente ideal crece linealmente.
• El amortiguamiento limita, reduce y ensancha el pico.
• La amplificación de desplazamiento es M = 1/√[(1 − r²)² + (2ζr)²].
• El pico de desplazamiento está en ωr = ω₀√(1 − 2ζ²) si ζ < 1/√2.
• Distintas magnitudes pueden tener máximos en frecuencias diferentes.
• Un barrido confiable debe resolver el pico y esperar la desaparición del transitorio.