31. Amplitud, desfase y potencia en el régimen estacionario

31.1 Una respuesta periódica estable

Consideramos un sistema lineal amortiguado sometido durante suficiente tiempo a una fuerza sinusoidal. La respuesta libre asociada al estado inicial se ha vuelto despreciable y queda el régimen estacionario.

“Estacionario” no significa que la masa esté quieta. Significa que el patrón ya no cambia de un ciclo al siguiente: amplitud, frecuencia y relación de fase permanecen constantes.

31.2 Ecuación y convenciones

Tomamos m > 0, k > 0, b > 0, F₀ ≥ 0 y ω > 0. La fase de la fuerza se fija en cero para usarla como referencia temporal.

Si la entrada fuera F₀ cos(ωt + α), la posición estacionaria conservaría el mismo retraso relativo respecto de esa fase α.

31.3 Proponer seno y coseno

Como derivar senos y cosenos no cambia su frecuencia, buscamos:

Sus derivadas son:

31.4 Igualar componentes

Al reemplazar y agrupar los coeficientes de coseno y seno:

Estas dos ecuaciones algebraicas determinan C y D. El término k − mω² compara rigidez e inercia; bω representa el efecto viscoso a esa frecuencia.

31.5 Componentes de la respuesta

Definimos:

Entonces:

C es la componente en fase con el coseno de la fuerza; D multiplica al seno y representa la componente en cuadratura.

31.6 Forma amplitud-fase

La misma respuesta puede escribirse:

Al desarrollar el coseno:

X es la amplitud estacionaria y φ es el retraso de la posición respecto de la fuerza.

31.7 Amplitud estacionaria

Como X = √(C² + D²):

La fórmula tiene unidades de metros: el denominador posee unidades de N/m y F₀ se mide en newtons.

La linealidad implica que X es proporcional a F₀ mientras m, b, k y ω no cambien.

31.8 Desfase mediante atan2

También suele escribirse tan φ = bω/(k − mω²), pero la tangente sola no identifica correctamente el cuadrante cuando k − mω² < 0.

atan2(y, x) devuelve un ángulo entre 0 y π para b > 0 y ω > 0, exactamente el intervalo físico requerido.

31.9 Interpretar el desfase

• ω ≪ ω₀: φ se aproxima a 0; posición y fuerza casi coinciden.
• ω = ω₀: φ = π/2; la posición está retrasada un cuarto de ciclo.
• ω ≫ ω₀: φ se aproxima a π; posición y fuerza tienen signos opuestos.

La transición es continua. No existe un salto físico de fase al cruzar ω₀.

31.10 Velocidad estacionaria

La amplitud de velocidad V incluye un factor ω. Por eso maximizar desplazamiento y maximizar velocidad no son el mismo problema.

En ω = ω₀, φ = π/2 y resulta v(t) = ω₀X cos(ω₀t): la velocidad está en fase con la fuerza.

31.11 Potencia instantánea externa

Puede ser positiva o negativa durante partes del ciclo. El agente externo entrega energía cuando fuerza y velocidad tienen el mismo signo, y recibe energía cuando sus signos son opuestos.

31.12 Potencia media entregada

Promediar durante un período elimina los términos que alternan simétricamente:

Al reemplazar X y φ:

Con b > 0 esta potencia media es no negativa.

31.13 Potencia media disipada

El amortiguador ejerce Fb = −bv, por lo que retira potencia −bv². Como el promedio de un seno al cuadrado es 1/2:

En régimen estacionario:

La energía mecánica vuelve al mismo valor después de cada ciclo, de modo que no existe acumulación neta.

31.14 Máximo de potencia

La potencia media alcanza su máximo exactamente en:

En esa frecuencia:

Esto contrasta con el máximo de desplazamiento, que para amortiguamiento débil ocurre en ω₀√(1 − 2ζ²).

31.15 Potencia normalizada

Con r = ω/ω₀ y ζ = b/(2√(mk)):

Esta curva vale 1 en r = 1 y tiende a cero tanto para frecuencias muy bajas como muy altas.

31.16 Puntos de media potencia

Las frecuencias ω₋ y ω₊ donde la potencia vale la mitad del máximo satisfacen:

Sus valores positivos son:

En esos puntos, φ vale respectivamente π/4 y 3π/4.

31.17 Ancho de banda y factor de calidad

El ancho entre los puntos de media potencia es:

Por lo tanto:

Un Q grande corresponde a una curva de potencia angosta y selectiva. Esta interpretación supone el modelo lineal viscoso.

31.18 Cálculo estable en JavaScript

function respuestaEstacionaria({ m, k, b, fuerza0, omega }) {
  if (m <= 0 || k <= 0 || b <= 0 || fuerza0 < 0 || omega <= 0) {
    throw new RangeError("Parámetros fuera del dominio del modelo");
  }

  const rigidezDinamica = k - m * omega ** 2;
  const terminoViscoso = b * omega;
  const denominador2 = rigidezDinamica ** 2 + terminoViscoso ** 2;
  const amplitudM = fuerza0 / Math.sqrt(denominador2);
  const faseRad = Math.atan2(terminoViscoso, rigidezDinamica);
  const potenciaMediaW = fuerza0 ** 2 * b * omega ** 2 / (2 * denominador2);

  return { amplitudM, faseRad,
    faseGrados: faseRad * 180 / Math.PI,
    amplitudVelocidadMps: omega * amplitudM,
    potenciaMediaW };
}

console.log(respuestaEstacionaria({
  m: 1, k: 25, b: 2, fuerza0: 1, omega: 5
}));

31.19 Comprobar la potencia por muestreo

Podemos promediar numéricamente la potencia instantánea durante un período completo:

function potenciaMediaMuestreada({ fuerza0, omega, amplitud, fase, muestras = 10000 }) {
  const periodo = 2 * Math.PI / omega;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < muestras; i += 1) {
    const t = periodo * (i + 0.5) / muestras;
    const fuerza = fuerza0 * Math.cos(omega * t);
    const velocidad = -omega * amplitud * Math.sin(omega * t - fase);
    suma += fuerza * velocidad;
  }
  return suma / muestras;
}

const resultadoW = potenciaMediaMuestreada({
  fuerza0: 1, omega: 5, amplitud: 0.1, fase: Math.PI / 2
});
console.log(resultadoW, "W");

El resultado es aproximadamente 0,25 W, igual a F₀²/(2b) para b = 2.

31.20 Calcular el ancho de banda

function bandaMediaPotencia(masaKg, kNpm, bNsM) {
  const raiz = Math.sqrt(bNsM ** 2 + 4 * masaKg * kNpm);
  const omegaMenos = (raiz - bNsM) / (2 * masaKg);
  const omegaMas = (raiz + bNsM) / (2 * masaKg);
  const omega0 = Math.sqrt(kNpm / masaKg);
  const ancho = omegaMas - omegaMenos;
  return { omegaMenos, omega0, omegaMas, ancho,
    factorQ: omega0 / ancho };
}

console.log(bandaMediaPotencia(1, 25, 2));

31.21 Laboratorio de amplitud, fase y potencia

Las tres gráficas comparten el eje horizontal r = ω/ω₀. El cursor azul marca la frecuencia seleccionada y permite leer simultáneamente las tres respuestas.

• Recorré ω₋, ω₀ y ω₊ para verificar 50 %, 100 % y 50 % de potencia.
• Observá que la fase vale 45°, 90° y 135° en esos puntos.
• Reducí b: la curva de potencia se angosta y Q aumenta.
• Cambiá F₀: la amplitud crece proporcionalmente y la potencia lo hace con F₀².

31.22 Procedimiento de resolución

1. Expresá m, b, k, F₀ y ω en unidades compatibles.
2. Calculá a = k − mω² y q = bω.
3. Obtené X = F₀/√(a² + q²).
4. Usá φ = atan2(q, a), no sólo la tangente.
5. Calculá V = ωX si necesitás velocidad.
6. Obtené la potencia media con cualquiera de sus formas equivalentes.
7. Comprobá límites, unidades y balance de energía.

31.23 Errores frecuentes

• Usar atan(q/a): pierde el cuadrante para frecuencias altas.
• Confundir φ con la fase de la velocidad: φ describe el retraso de posición.
• Promediar fuerza y velocidad por separado: ⟨Fv⟩ no es en general ⟨F⟩⟨v⟩.
• Esperar potencia máxima donde X es máxima: con b > 0 son frecuencias diferentes.
• Olvidar el factor 1/2: proviene del promedio de una función sinusoidal al cuadrado.
• Aplicar la solución estacionaria al encendido: no incluye el transitorio.
• Interpretar potencia media cero como potencia instantánea cero: puede haber intercambio en ambos sentidos.

31.24 Ejercicio resuelto

Un sistema tiene m = 1 kg, k = 25 N/m, b = 2 N·s/m y F₀ = 1 N. Para ω = 4 rad/s, calculá X, φ, la amplitud de velocidad y la potencia media. Obtené además ω₋, ω₊ y Q.

31.25 Ideas para recordar

• La respuesta estacionaria es x = X cos(ωt − φ).
• X = F₀/√[(k − mω²)² + (bω)²].
• φ = atan2(bω, k − mω²) conserva el cuadrante correcto.
• La fase evoluciona desde 0 hasta π al aumentar la frecuencia.
• ⟨P⟩ = ½F₀ωX sen φ = ½bω²X².
• La potencia media externa iguala la disipación media en régimen estacionario.
• La potencia es máxima en ω₀, aunque el desplazamiento máximo ocurra en otra frecuencia.
• Δω = b/m y Q = ω₀/Δω caracterizan la selectividad.