4. Oscilaciones libres y elección de las variables de estado

4.1 Qué significa que una oscilación sea libre

Desplazamos una masa unida a un resorte y la soltamos. Desde ese instante dejamos de empujarla: el movimiento posterior se debe a las interacciones propias del sistema y a las condiciones con las que fue liberado. Decimos que realiza una oscilación libre.

Libre no significa que no actúen fuerzas. La fuerza restauradora es precisamente la que permite el movimiento de regreso. Significa que, después del instante inicial, no aplicamos una acción externa diseñada para mantener o imponer el ritmo de la oscilación.

Un sistema real puede oscilar libremente y al mismo tiempo perder energía por rozamiento. Cuando despreciamos esas pérdidas hablamos de una oscilación libre no amortiguada. Más adelante estudiaremos por separado el amortiguamiento y las fuerzas periódicas externas.

4.2 Oscilación libre y oscilación forzada

Empujar una hamaca una sola vez y dejarla evolucionar aproxima una oscilación libre. Darle impulsos repetidos introduce una acción externa. La clasificación depende del intervalo que analizamos: el empujón inicial establece el estado de partida, pero no forma parte de la evolución libre posterior.

4.3 Elegir el grado de libertad

Un grado de libertad es una coordenada independiente necesaria para describir la configuración del sistema. Una masa obligada a moverse sobre una guía horizontal posee un grado de libertad: alcanza con su coordenada x.

En un péndulo simple, la longitud de la cuerda permanece fija. Aunque la masa se mueve en el plano, una sola coordenada angular θ permite ubicarla sobre el arco. Sus coordenadas cartesianas pueden calcularse a partir de ese ángulo y no son independientes.

Elegir bien la coordenada simplifica tanto las ecuaciones como el programa:

• debe distinguir todas las configuraciones relevantes;
• debe respetar las restricciones del movimiento;
• conviene medirla desde el equilibrio;
• su signo debe tener una convención explícita.

4.4 Coordenada absoluta y desplazamiento

La posición en un sistema de referencia y el desplazamiento respecto del equilibrio no siempre coinciden. Si el equilibrio de una masa está en qeq = 0,80 m y su posición es q = 1,05 m, entonces:

La fuerza restauradora suele expresarse con mayor claridad en función de x. Al usar el equilibrio como origen, x = 0 representa la configuración central, sin importar dónde esté ubicada en la habitación o en la pantalla.

En el código conviene evitar nombres ambiguos. posicionM, equilibrioM y desplazamientoM permiten reconocer qué representa cada cantidad.

4.5 Por qué la posición no alcanza

Imaginemos dos fotografías de una masa justo en el equilibrio. En una, la masa atraviesa el centro hacia la derecha; en la otra, hacia la izquierda. Las posiciones son idénticas, pero los movimientos futuros inmediatos no lo son.

Para un oscilador con un grado de libertad necesitamos, como mínimo:

La posición informa dónde está el sistema. La velocidad informa cómo está cambiando esa posición. Con ambas y con una regla para calcular la aceleración podemos determinar la evolución posterior paso a paso.

En los extremos ocurre algo distinto: la velocidad es momentáneamente cero, pero la posición permite saber en cuál extremo se encuentra y la aceleración indica hacia dónde comenzará a regresar.

4.6 Estado, parámetros y tiempo

Al programar una simulación es importante separar tres clases de datos:

Guardar innecesariamente muchos valores derivados puede producir inconsistencias. Si almacenamos posición y desplazamiento, por ejemplo, debemos actualizarlos siempre de forma compatible. A menudo es más seguro almacenar la posición y el equilibrio, y calcular su diferencia.

4.7 Condiciones iniciales

Las condiciones iniciales son los valores del estado en el instante elegido como comienzo. Para una coordenada x escribimos x(0) = x₀ y v(0) = v₀.

Dos ensayos del mismo sistema pueden evolucionar de manera diferente si comienzan con condiciones distintas:

• separar la masa y soltarla corresponde a x₀ ≠ 0 y v₀ = 0;
• impulsarla al atravesar el equilibrio corresponde a x₀ = 0 y v₀ ≠ 0;
• separarla y lanzarla combina x₀ ≠ 0 con v₀ ≠ 0;
• dejarla quieta en el equilibrio da x₀ = 0 y v₀ = 0, por lo que no comienza a oscilar espontáneamente.

El origen del tiempo es una elección. Podemos definir t = 0 al soltar la masa, al iniciar una medición o al atravesar el equilibrio, siempre que indiquemos el estado correspondiente.

4.8 El estado en lugares característicos

La frase “el sistema volvió al mismo estado” exige que coincidan todas las variables de estado. Pasar dos veces por el equilibrio durante un ciclo no significa repetir el estado, porque las velocidades tienen signos opuestos.

4.9 Representar el estado como un punto

Podemos construir un gráfico cuyos ejes sean la posición x y la velocidad v. Cada par (x, v) es un punto del espacio de estados, también llamado espacio de fases en este contexto.

Mientras el sistema evoluciona, el punto traza una curva. Para un oscilador armónico ideal sin pérdidas, la trayectoria cerrada indica que el estado vuelve a repetirse. Los cruces con el eje horizontal representan extremos, porque v = 0. Los cruces con el eje vertical representan pasos por el equilibrio, porque x = 0.

Este gráfico conserva información que un gráfico de posición aislado no muestra directamente. Dos puntos con el mismo valor de x pueden estar en la mitad superior o inferior según el signo de v.

4.10 Un modelo ideal con condiciones iniciales generales

Para explorar estados utilizaremos un oscilador armónico ideal de frecuencia angular ω. Su posición puede escribirse directamente en función de las condiciones iniciales:

Su velocidad es:

Al sustituir t = 0, usamos cos(0) = 1 y sen(0) = 0. Obtenemos exactamente x(0) = x₀ y v(0) = v₀, una comprobación indispensable.

Estas expresiones serán justificadas al construir la ecuación de movimiento del sistema masa-resorte. Aquí nos permiten observar cómo dos números iniciales determinan una trayectoria completa para parámetros fijos.

4.11 Amplitud y fase determinadas por el estado inicial

Para un valor fijo de ω, el mismo movimiento puede expresarse mediante amplitud y fase o mediante posición y velocidad iniciales. La relación para la amplitud es:

Si soltamos desde el reposo, v₀ = 0 y la amplitud coincide con |x₀|. Si impulsamos desde el equilibrio, x₀ = 0 y la amplitud vale |v₀|/ω.

Esto muestra que la amplitud no siempre es simplemente “la posición inicial”. Una velocidad inicial puede aumentar o incluso determinar por completo el máximo alejamiento posterior.

4.12 Del estado físico a un objeto JavaScript

Una representación clara separa el estado modificable de los parámetros del modelo:

const sistema = {
  parametros: {
    masaKg: 0.5,
    equilibrioM: 0.8
  },
  estado: {
    tiempoS: 0,
    posicionM: 1.05,
    velocidadMps: 0
  }
};

function desplazamientoDesdeEquilibrio(sistema) {
  return sistema.estado.posicionM
    - sistema.parametros.equilibrioM;
}

console.log(desplazamientoDesdeEquilibrio(sistema)); // 0.25 m

Para copiar un estado inicial sin compartir accidentalmente el mismo objeto podemos crear uno nuevo:

function crearEstadoInicial(posicionM, velocidadMps) {
  return {
    tiempoS: 0,
    posicionM,
    velocidadMps
  };
}

const ensayoA = crearEstadoInicial(0.2, 0);
const ensayoB = crearEstadoInicial(0, 0.4);

console.log("Ensayo A:", ensayoA);
console.log("Ensayo B:", ensayoB);

Más adelante una función de actualización recibirá el estado, calculará fuerzas y aceleración, y producirá el estado del siguiente instante.

4.13 Laboratorio interactivo: estado y trayectoria

Elegí la posición y la velocidad iniciales de un oscilador ideal. La vista superior muestra la masa; el gráfico temporal muestra x(t), y el plano de estado ubica simultáneamente la posición y la velocidad.

• Soltá desde un extremo: usá x₀ = 1 m y v₀ = 0.
• Impulsá desde el centro: usá x₀ = 0 y v₀ = 1 m/s.
• Compará el mismo lugar: buscá dos instantes con igual posición y velocidades de signos opuestos.
• Cambiá ω: observá que el período cambia y que una misma velocidad inicial produce otra amplitud.

4.14 Ejercicio propuesto

Un oscilador ideal tiene ω = 2 rad/s. En el instante inicial está en x₀ = 0,30 m y se mueve hacia el equilibrio con v₀ = −0,40 m/s.

1. Escribí el estado inicial como un objeto JavaScript.
2. Explicá por qué la posición inicial no es un extremo.
3. Calculá la amplitud del movimiento.
4. Calculá el período.
5. Indicá qué valores cambiarían si repitiéramos el ensayo con v₀ = +0,40 m/s.

const estadoInicial = {
  tiempoS: 0,
  posicionM: 0.30,
  velocidadMps: -0.40
};

const omegaRadS = 2;
const amplitudM = Math.hypot(
  estadoInicial.posicionM,
  estadoInicial.velocidadMps / omegaRadS
);
const periodoS = 2 * Math.PI / omegaRadS;

console.log({ amplitudM, periodoS });

4.15 Ideas para recordar

• Una oscilación libre evoluciona sin una acción externa que imponga continuamente su ritmo.
• El grado de libertad indica cuántas coordenadas independientes describen la configuración.
• Para un oscilador unidimensional, posición y velocidad forman un estado mínimo.
• Los parámetros caracterizan el sistema; las variables de estado cambian con el tiempo.
• Las condiciones iniciales fijan el estado desde el cual comienza el cálculo.
• La misma posición con velocidades opuestas representa dos estados distintos.
• En el espacio de estados, una oscilación ideal traza una curva cerrada.
• La amplitud depende de la posición inicial, de la velocidad inicial y de ω.