5. La ley de Hooke y el modelo de resorte ideal

5.1 Deformar y recuperar

Un resorte puede estirarse al tirar de sus extremos o comprimirse al empujarlos. Cuando retiramos la acción externa, suele tender a recuperar su forma y longitud originales. Esta respuesta permite almacenar temporalmente energía y producir una fuerza restauradora.

Los resortes reales poseen masa, rozamiento interno y límites de deformación. Sin embargo, para estudiar su comportamiento básico construiremos un modelo de resorte ideal: una relación sencilla entre cuánto se deforma y qué fuerza ejerce.

El modelo no representa todos los objetos flexibles. Una banda elástica, una espuma o una pieza de metal doblada pueden responder de manera diferente. Siempre debemos comprobar si la aproximación elegida describe el intervalo de trabajo.

5.2 Longitud natural

La longitud natural L₀ es la longitud del resorte cuando no está deformado por fuerzas aplicadas en sus extremos. Sirve como referencia para medir estiramientos y compresiones.

Si un resorte mide 0,40 m sin deformarse, entonces L₀ = 0,40 m. Que esté colocado horizontal o verticalmente puede modificar qué fuerzas externas debemos considerar, pero no cambia la definición de esta longitud de referencia.

No debemos confundir la longitud natural con la posición de equilibrio de un sistema completo. Por ejemplo, una masa colgada puede quedar en equilibrio con el resorte estirado: allí la fuerza elástica compensa el peso, aunque L > L₀.

5.3 Deformación del resorte

La deformación longitudinal se calcula comparando la longitud actual L con la longitud natural:

La deformación tiene unidad de longitud. El símbolo Δ no significa que el valor sea necesariamente positivo; indica una diferencia entre el estado actual y el de referencia.

5.4 La ley de Hooke

Para un resorte ideal que se deforma a lo largo de un eje, la componente de la fuerza que ejerce sobre el cuerpo unido a su extremo puede expresarse como:

k es la constante elástica o rigidez del resorte. El signo menos indica que la fuerza elástica se opone a la deformación:

• si el resorte está estirado, ΔL > 0 y la fuerza apunta hacia la contracción;
• si está comprimido, ΔL < 0 y la fuerza apunta hacia la expansión;
• si tiene su longitud natural, ΔL = 0 y el modelo da fuerza elástica cero.

Esta relación se conoce como ley de Hooke. Es un modelo lineal: duplicar la deformación duplica el módulo de la fuerza mientras se mantengan válidos sus supuestos.

5.5 Unidad y significado de k

Despejando el módulo de la relación obtenemos k = |Fel| / |ΔL|. Por lo tanto, la unidad de k en el Sistema Internacional es newton por metro:

Un resorte con k = 200 N/m ejerce una fuerza de módulo 200 N por cada metro de deformación en el modelo lineal. Para una deformación más realista de 0,01 m, el módulo es 2 N.

Un valor mayor de k representa un resorte más rígido: para alcanzar la misma deformación se necesita una fuerza externa mayor. En el tema siguiente estudiaremos con más detalle cómo medir e interpretar esta constante y hasta dónde puede utilizarse.

5.6 Ejemplo de un resorte estirado

Un resorte de constante k = 80 N/m tiene longitud natural L₀ = 0,30 m y longitud actual L = 0,35 m.

El signo negativo indica que la fuerza sobre el cuerpo unido al extremo móvil apunta en sentido opuesto al eje positivo elegido. Su módulo es 4 N. No debemos informar “una fuerza de −4 N” sin aclarar el eje: el signo representa dirección.

5.7 Ejemplo de un resorte comprimido

El mismo resorte se comprime hasta L = 0,27 m:

La fuerza elástica es positiva porque apunta hacia la expansión, que coincide con el sentido positivo del eje en este ejemplo. Estiramiento y compresión producen fuerzas de sentidos opuestos.

Si el resorte ideal se estira y se comprime 0,03 m, el módulo calculado es el mismo en ambos casos: 2,4 N. Esa simetría forma parte del modelo ideal y puede no cumplirse en un dispositivo real.

5.8 Fuerza elástica y fuerza externa

Si sostenemos lentamente el extremo de un resorte deformado y lo mantenemos quieto, aplicamos una fuerza externa que equilibra la fuerza elástica. Para aceleración nula:

Las dos fuerzas tienen igual módulo y sentidos opuestos, pero actúan sobre el mismo cuerpo y provienen de interacciones diferentes. La expresión Fel = −kΔL corresponde a la fuerza del resorte; la expresión positiva anterior corresponde a la fuerza externa necesaria para sostenerlo cuasiestáticamente.

Si soltamos el extremo, la fuerza externa desaparece. La fuerza elástica deja de estar equilibrada y puede acelerar el cuerpo hacia la longitud natural.

5.9 El gráfico fuerza–deformación

Al representar Fel en el eje vertical y ΔL en el horizontal, la ley de Hooke produce una recta que pasa por el origen y tiene pendiente negativa.

• El origen expresa que no hay fuerza elástica cuando no existe deformación.
• La recta expresa proporcionalidad.
• La pendiente negativa expresa que fuerza y deformación tienen sentidos opuestos.
• Un valor mayor de k produce una recta más inclinada.

Si graficamos el módulo de la fuerza externa necesaria para sostener el resorte frente al módulo de la deformación, obtenemos una recta de pendiente positiva k. Debemos leer qué cantidades y signos usa cada gráfico antes de interpretarlo.

5.10 Supuestos del resorte ideal

El modelo elemental suele asumir que:

• la fuerza depende instantáneamente de la deformación;
• la relación es lineal y k permanece constante;
• el comportamiento es reversible;
• el resorte actúa solo a lo largo de su eje;
• su masa y sus pérdidas internas son despreciables;
• no existen topes, holguras ni deformaciones permanentes.

Estas condiciones definen el modelo, no todos los resortes reales. Cuando los datos dejan de formar una recta o el objeto no recupera su longitud, necesitamos restringir el intervalo de uso o elegir otra representación.

5.11 Errores frecuentes al aplicar la ley

• Usar L en lugar de ΔL: la fuerza depende de cuánto cambió la longitud, no de la longitud total.
• Omitir el signo: calcular solo k|ΔL| da el módulo, pero no la dirección.
• Confundir fuerzas: la fuerza que aplicamos para sostener el resorte tiene sentido contrario a la que ejerce el resorte.
• Mezclar centímetros y metros: una deformación de 5 cm debe escribirse como 0,05 m si k está en N/m.
• Aplicar el modelo sin límites: una predicción lineal para deformaciones extremas puede ser físicamente inválida.
• Suponer equilibrio durante el movimiento: la igualdad de fuerzas de la sección anterior vale al sostener el extremo sin aceleración.

5.12 Implementar la ley de Hooke en JavaScript

La función puede recibir la longitud actual, la natural y la constante elástica. Validamos que las longitudes no sean negativas y que k sea positiva.

function fuerzaElastica(longitudM, longitudNaturalM, kNpm) {
  if (longitudM < 0 || longitudNaturalM <= 0) {
    throw new RangeError("Las longitudes no son válidas");
  }
  if (kNpm <= 0) {
    throw new RangeError("La constante k debe ser positiva");
  }

  const deformacionM = longitudM - longitudNaturalM;
  const fuerzaN = -kNpm * deformacionM;
  return { deformacionM, fuerzaN };
}

console.log(fuerzaElastica(0.35, 0.30, 80));
// { deformacionM: 0.05, fuerzaN: -4 }

Debido a la representación binaria de los números, JavaScript puede mostrar valores como 0.04999999999999999. Esto no cambia el modelo físico. Para presentar resultados podemos redondear, pero conviene conservar el valor completo durante los cálculos.

5.13 Laboratorio interactivo: deformar un resorte ideal

Cambiá la longitud natural, la longitud actual y la rigidez. La vista muestra el resorte y las fuerzas necesarias para mantenerlo quieto; el gráfico ubica el punto (ΔL, Fel) sobre la recta de Hooke.

• Duplicá la deformación: comprobá que se duplica el módulo de la fuerza.
• Cambiá de estiramiento a compresión: observá que se invierte el signo.
• Aumentá k: mantené la misma deformación y compará la fuerza.
• Soltá el extremo: desaparece la fuerza externa; la flecha elástica señala hacia dónde comenzaría a acelerarse. La vista no integra todavía el movimiento.

5.14 Ejercicio propuesto

Un resorte ideal tiene longitud natural L₀ = 25 cm y constante elástica k = 120 N/m.

1. Calculá la deformación y la fuerza elástica cuando su longitud es 31 cm.
2. Repetí el cálculo cuando su longitud es 22 cm.
3. Calculá la fuerza externa necesaria para mantenerlo quieto en ambos casos.
4. Indicá la longitud para la cual la fuerza elástica es cero.
5. Explicá por qué no podemos asegurar que la fórmula siga siendo válida si el resorte se lleva a una longitud extrema.

const longitudNaturalM = 0.25;
const kNpm = 120;

for (const longitudM of [0.31, 0.22]) {
  const deformacionM = longitudM - longitudNaturalM;
  const fuerzaElasticaN = -kNpm * deformacionM;
  const fuerzaExternaN = -fuerzaElasticaN;

  console.log({ longitudM, deformacionM,
    fuerzaElasticaN, fuerzaExternaN });
}

5.15 Ideas para recordar

• La longitud natural L₀ es la referencia sin deformación.
• La deformación longitudinal es ΔL = L − L₀.
• En el modelo ideal, la ley de Hooke es Fel = −kΔL.
• El signo menos expresa que la fuerza elástica se opone a la deformación.
• La constante k se mide en N/m y representa la rigidez.
• La fuerza externa para sostener el resorte en reposo es opuesta a la fuerza elástica.
• El gráfico firmado de F_el frente a ΔL es una recta de pendiente negativa.
• La ley de Hooke tiene una región de validez y no debe extrapolarse sin comprobarla.