6. Constante elástica, deformación y límites de validez

6.1 Una constante que debe medirse

En la ley de Hooke, Fel = −kΔL, la constante k caracteriza la rigidez del resorte. No es una constante universal: dos resortes pueden producir fuerzas muy diferentes ante la misma deformación.

El valor de k se obtiene de las especificaciones del fabricante o mediante mediciones. Para medirlo aplicamos fuerzas conocidas, registramos las deformaciones resultantes y comprobamos si existe una relación proporcional.

El procedimiento importa tanto como el número final. Una estimación de k solo es útil si conocemos las unidades, la incertidumbre y el intervalo de deformaciones en el que fue determinada.

6.2 Interpretación operacional de la rigidez

Si trabajamos con módulos dentro del régimen lineal, podemos escribir:

Para un resorte con k = 150 N/m, una deformación de 0,020 m requiere una fuerza externa de equilibrio de módulo 3,0 N. Otro resorte de k = 300 N/m requiere 6,0 N para la misma deformación.

La unidad N/m expresa fuerza por unidad de deformación. También puede aparecer N/cm, pero debemos convertirla antes de combinarla con longitudes en metros:

Decir que un resorte “es más fuerte” resulta ambiguo. Más rígido significa que tiene un k mayor; no indica necesariamente que soporte una fuerza máxima mayor sin dañarse.

6.3 Medición estática de k

Un método sencillo consiste en fijar un extremo, aplicar fuerzas conocidas al otro y esperar a que el sistema quede en reposo antes de medir su longitud. En cada ensayo registramos:

• la longitud natural L₀;
• la fuerza externa aplicada;
• la longitud final L;
• la deformación ΔL = L − L₀.

Cuando se cuelgan masas, la fuerza aplicada en equilibrio se obtiene del peso mg. Es necesario incluir la masa del portapesas y usar unidades coherentes.

La medición se llama estática porque esperamos a que desaparezcan las oscilaciones antes de leer. Si medimos mientras la masa acelera, la fuerza elástica no tiene por qué igualar al peso.

6.4 La pendiente del gráfico

Para determinar k resulta conveniente graficar el módulo de la fuerza externa de equilibrio en función del módulo de la deformación. En la región de Hooke esperamos una recta:

En este gráfico, k es la pendiente. Si dos puntos ideales son (0,02 m; 2 N) y (0,06 m; 6 N):

Usar diferencias entre puntos evita depender exclusivamente del origen medido. Sin embargo, una recta que no pasa cerca de cero puede revelar un error en la longitud de referencia, una precarga, rozamiento o un sensor desajustado.

6.5 Por qué conviene usar varias mediciones

Con una única fuerza y una única deformación obtenemos un cociente, pero no podemos comprobar si la relación es lineal. Pequeños errores de lectura pueden modificar mucho el resultado.

Al medir varios puntos podemos:

• detectar valores anómalos;
• comprobar si los puntos se alinean;
• estimar la pendiente usando toda la información;
• reconocer desde qué deformación comienza a curvarse la respuesta;
• informar un intervalo de validez.

Si la teoría y el montaje justifican una recta por el origen, una estimación por mínimos cuadrados es:

Esta expresión busca la pendiente que reduce en conjunto las diferencias verticales entre las fuerzas medidas y las predichas.

6.6 Intercepto, precarga y referencia

No siempre corresponde obligar al ajuste a pasar por el origen. Un mecanismo puede mantener el resorte previamente estirado, o el instrumento puede indicar un pequeño valor cuando la deformación registrada es cero. En ese caso probamos:

El intercepto b debe interpretarse físicamente. Puede representar una precarga real, pero también un error sistemático. Agregarlo solo para mejorar numéricamente el ajuste sin revisar el montaje puede ocultar un problema.

En este curso usaremos el ajuste por el origen cuando la longitud natural haya sido identificada y no exista precarga. En una práctica experimental se deben comparar ambas opciones y observar los residuos.

6.7 Incertidumbre y cifras significativas

La regla utilizada para medir la longitud posee una resolución. Las masas y el valor de g también tienen incertidumbre. Por eso una medición no debería informarse con más cifras de las que justifican los datos.

Si obtenemos valores de k de 99, 102, 101 y 98 N/m, informar k = 100,000000 N/m da una precisión ficticia. Una presentación razonable podría ser k ≈ 100 N/m, acompañada por una estimación de dispersión o incertidumbre.

Medir deformaciones demasiado pequeñas puede aumentar el error relativo. Usar deformaciones muy grandes, en cambio, puede sacar al resorte de la región lineal. El diseño del ensayo debe equilibrar ambos riesgos.

6.8 Límite de proporcionalidad y límite elástico

Dos límites conceptuales ayudan a describir un resorte real:

• El límite de proporcionalidad marca hasta dónde fuerza y deformación mantienen aproximadamente una relación lineal.
• El límite elástico marca hasta dónde el resorte puede recuperar su configuración original al retirar la carga.

No son definiciones idénticas. Un material puede dejar de responder linealmente y aun así recuperar su forma. Si supera el límite elástico, puede quedar una deformación permanente.

La relación exacta entre ambos límites depende del material y del dispositivo. Para un modelo seguro debemos especificar el máximo estiramiento, compresión o fuerza admitidos.

6.9 Deformación permanente e histéresis

Si un resorte no recupera su longitud inicial después de retirar la fuerza, ocurrió una deformación permanente. Continuar usando la misma L₀ y el mismo k produciría predicciones incorrectas.

Algunos sistemas siguen caminos distintos al cargar y descargar. En un gráfico fuerza–deformación esto forma un lazo llamado histéresis. Parte de la energía se transforma internamente y la fuerza ya no depende solo de la deformación actual: también importa la historia del sistema.

El resorte ideal no presenta histéresis. Su fuerza queda determinada por un único valor de ΔL y la misma recta sirve para carga y descarga.

6.10 De qué depende k

La rigidez efectiva depende del material, de la geometría y de la construcción. En un resorte helicoidal influyen, entre otros factores, el diámetro del alambre, el diámetro de las espiras y la cantidad de vueltas activas.

Cortar un resorte, combinarlo con otros o cambiar sus apoyos puede modificar la rigidez del sistema. La temperatura, el envejecimiento y el uso repetido también pueden alterar la respuesta.

Por eso k caracteriza al componente o montaje ensayado bajo ciertas condiciones. No es simplemente una propiedad del material. Más adelante analizaremos cómo obtener constantes equivalentes cuando conectamos resortes en serie o en paralelo.

6.11 Modelos no lineales y modelos por tramos

Cuando el gráfico se curva de forma repetible, podemos necesitar una función no lineal. Por ejemplo, una representación matemática podría incluir un término cúbico:

Esta fórmula es un ejemplo de estructura, no una ley aplicable a cualquier resorte. Los coeficientes deben determinarse con datos y el signo de c depende de cómo cambia la rigidez.

Otra opción es un modelo por tramos: una regla lineal dentro del intervalo calibrado y una advertencia o una regla diferente fuera de él. Para simulaciones confiables es preferible reconocer que faltan datos antes que extrapolar silenciosamente.

6.12 Validar datos y límites en JavaScript

Podemos guardar la calibración junto con su región válida y rechazar cálculos fuera de ella:

const resorte = {
  kNpm: 100,
  deformacionMinM: -0.08,
  deformacionMaxM: 0.12
};

function fuerzaElastica(resorte, deformacionM) {
  const dentroDelIntervalo =
    deformacionM >= resorte.deformacionMinM &&
    deformacionM <= resorte.deformacionMaxM;

  if (!dentroDelIntervalo) {
    throw new RangeError("Deformación fuera del intervalo calibrado");
  }
  return -resorte.kNpm * deformacionM;
}

console.log(fuerzaElastica(resorte, 0.05)); // -5 N

También podemos estimar k desde varias mediciones con un ajuste por el origen:

function estimarK(mediciones) {
  let sumaXF = 0;
  let sumaX2 = 0;

  for (const { deformacionM, fuerzaN } of mediciones) {
    sumaXF += deformacionM * fuerzaN;
    sumaX2 += deformacionM ** 2;
  }
  if (sumaX2 === 0) throw new Error("Faltan deformaciones no nulas");
  return sumaXF / sumaX2;
}

const ejemplo = [
  { deformacionM: 0.02, fuerzaN: 2 },
  { deformacionM: 0.04, fuerzaN: 4 },
  { deformacionM: 0.06, fuerzaN: 6 }
];
console.log("k estimada:", estimarK(ejemplo), "N/m");

En esta función fuerzaN representa el módulo de la fuerza externa aplicada, por eso la pendiente estimada es positiva.

6.13 Laboratorio interactivo: calibrar y elegir datos

El laboratorio genera mediciones simuladas con un pequeño error y una respuesta que deja de ser lineal después de cierto límite. Elegí hasta qué deformación incluir puntos en el ajuste y observá cómo cambia la estimación.

La curva posterior al límite es solo un ejemplo didáctico de pérdida de proporcionalidad; no representa el comportamiento universal de los resortes reales.

• Usá datos hasta el límite: la estimación debe acercarse al valor simulado, con pequeñas variaciones por error.
• Incluí puntos posteriores: observá el cambio de pendiente y el crecimiento de los residuos.
• Aumentá el error: generá varios conjuntos y compará cuánto fluctúa k.
• Usá pocos puntos: comprobá que una coincidencia aparente no permite evaluar bien la linealidad.

6.14 Ejercicio propuesto

Durante una calibración se obtienen los siguientes pares de deformación y fuerza externa:

1. Estimá k usando la región proporcional.
2. Indicá entre qué mediciones comienza a perderse la proporcionalidad.
3. Predecí la fuerza para 0,05 m dentro del modelo lineal.
4. Explicá por qué no usarías k = 80 N/m para predecir una deformación de 0,20 m.
5. Proponé qué información adicional medirías para saber si hubo deformación permanente.

const medicionesLineales = [
  { deformacionM: 0.02, fuerzaN: 1.60 },
  { deformacionM: 0.04, fuerzaN: 3.20 },
  { deformacionM: 0.06, fuerzaN: 4.80 },
  { deformacionM: 0.08, fuerzaN: 6.40 }
];

const sumaXF = medicionesLineales.reduce(
  (suma, dato) => suma + dato.deformacionM * dato.fuerzaN, 0
);
const sumaX2 = medicionesLineales.reduce(
  (suma, dato) => suma + dato.deformacionM ** 2, 0
);
const kNpm = sumaXF / sumaX2;
const fuerzaPredichaN = kNpm * 0.05;
console.log({ kNpm, fuerzaPredichaN });

6.15 Ideas para recordar

• La constante k caracteriza la rigidez del componente o montaje ensayado.
• En un gráfico de fuerza externa frente a deformación, k es la pendiente lineal.
• Varias mediciones permiten comprobar proporcionalidad y estimar mejor la pendiente.
• El límite de proporcionalidad y el límite elástico no son necesariamente iguales.
• Superar el límite elástico puede dejar una deformación permanente.
• La histéresis hace que la respuesta dependa también de la historia de carga.
• Una calibración debe informar unidades, incertidumbre e intervalo de validez.
• El software debe advertir o rechazar deformaciones fuera del intervalo modelado.