Oscilaciones, Resortes y Péndulos - 8. El sistema masa-resorte y su ecuación de movimiento

8.1 Del resorte aislado al movimiento de una masa

La ley de Hooke permite calcular la fuerza que ejerce un resorte a partir de su deformación. Para predecir el movimiento necesitamos relacionar esa fuerza con la aceleración del cuerpo unido al extremo.

Consideraremos una masa que puede deslizarse horizontalmente y está conectada a un resorte fijo a una pared. Si desplazamos la masa y la soltamos, la fuerza elástica modifica su velocidad y la masa comienza a oscilar alrededor del equilibrio.

El objetivo de este tema es construir la ecuación de movimiento: una relación que debe cumplirse en cada instante entre posición, velocidad y aceleración.

8.2 Supuestos del modelo elemental

Para aislar las ideas principales adoptamos estas condiciones:

la masa se trata como una partícula y solo puede moverse sobre un eje horizontal;
el resorte es ideal, de masa despreciable y cumple la ley de Hooke;
la pared y la superficie permanecen inmóviles;
no hay rozamiento ni resistencia del aire;
la deformación permanece dentro de la región lineal;
la gravedad es uniforme.

El peso y la fuerza normal actúan verticalmente y se compensan. Por eso no aparecen en la ecuación horizontal, aunque sí pertenecen al diagrama de cuerpo libre completo.

8.3 Elegir el sistema y la coordenada

Elegimos la masa como sistema. El resorte, la Tierra y la superficie pertenecen al entorno y ejercen fuerzas sobre ella.

Tomamos el eje x horizontal, positivo hacia la derecha, y ubicamos x = 0 en la posición de equilibrio. En esta configuración horizontal ideal, el equilibrio coincide con la longitud natural del resorte.

Con esta elección, x es a la vez la posición respecto del equilibrio y la deformación longitudinal firmada:

ΔL = x

Si se eligiera otro origen, primero habría que calcular x = q − q_eq. La física no cambia, pero la expresión tendría un término adicional si confundiéramos la coordenada absoluta q con el desplazamiento.

8.4 Diagrama de cuerpo libre

Sobre la masa actúan:

el peso P hacia abajo;
la normal N hacia arriba;
la fuerza elástica F_el a lo largo del eje horizontal.

En la dirección vertical no hay aceleración, de modo que N − mg = 0. En la dirección horizontal, la única fuerza del modelo es la elástica:

ΣF_x = F_el,x = −kx

Si x > 0, la fuerza es negativa; si x < 0, es positiva. Esta oposición de signos produce la acción restauradora.

8.5 Aplicar la segunda ley de Newton

La segunda ley de Newton en el eje x establece:

ΣF_x = ma_x

Sustituimos la fuerza elástica:

−kx = ma_x

Y escribimos la aceleración como segunda derivada de la posición respecto del tiempo:

m · d²x/dt² = −k · x

Esta es la ecuación de movimiento del sistema masa-resorte ideal. No representa una fuerza nueva: reúne la ley de Hooke, la segunda ley de Newton y la elección del origen en el equilibrio.

8.6 Forma normalizada de la ecuación

Como la masa es positiva, podemos dividir toda la ecuación por m:

d²x/dt² + (k/m)x = 0

Usando x'' como notación abreviada para la segunda derivada:

x'' + (k/m)x = 0

Es una ecuación diferencial de segundo orden porque contiene la segunda derivada temporal de la incógnita x. Su solución no es un único número: es una función x(t) que describe toda la trayectoria y satisface las condiciones iniciales.

En el tema siguiente identificaremos la forma sinusoidal de esa solución. Por ahora analizaremos qué información ya puede extraerse de la ecuación.

8.7 La aceleración depende de la posición

La forma más directa para calcular el estado es:

a(x) = −(k/m)x

Estado instantáneo y aceleración.
Posición	Fuerza	Aceleración	Consecuencia inmediata
x > 0	F_x < 0	a_x < 0	La velocidad cambia hacia la izquierda.
x = 0	F_x = 0	a_x = 0	La velocidad no cambia en ese instante.
x < 0	F_x > 0	a_x > 0	La velocidad cambia hacia la derecha.

Aceleración cero en el equilibrio no implica velocidad cero. La masa suele atravesar el centro con rapidez y continúa por inercia.

8.8 Ejemplo instantáneo

Una masa de m = 2 kg está unida a un resorte de k = 50 N/m. En cierto instante se encuentra en x = +0,08 m y se mueve hacia la derecha con v = +0,30 m/s.

F_el = −50 N/m · 0,08 m = −4 N
a = −4 N / 2 kg = −2 m/s²

La fuerza y la aceleración apuntan hacia la izquierda. Como la velocidad apunta a la derecha, la masa está disminuyendo su rapidez en ese instante. Esto no significa que la aceleración sea “negativa porque frena”: es negativa porque la masa está a la derecha del equilibrio.

Si estuviera en la misma posición moviéndose hacia la izquierda, la fuerza y la aceleración serían iguales, pero aumentarían inicialmente el módulo de la velocidad.

8.9 Funciones diferentes de m y k

La fuerza elástica depende de k y x, pero no de la masa. La aceleración depende además de m:

para el mismo x, aumentar k aumenta el módulo de la fuerza y de la aceleración;
para el mismo resorte y x, aumentar m no cambia la fuerza, pero reduce la aceleración;
la evolución está gobernada por la razón k/m;
dos sistemas con el mismo cociente k/m cumplen la misma ecuación normalizada, aunque sus fuerzas y masas sean distintas.

Por ejemplo, k = 20 N/m, m = 1 kg y k = 100 N/m, m = 5 kg producen el mismo valor k/m = 20 s⁻². Si parten del mismo estado, sus posiciones evolucionan del mismo modo en el modelo ideal, pero las fuerzas del segundo sistema son cinco veces mayores.

8.10 Comprobación dimensional

La ecuación debe ser homogénea. En el lado derecho de a = −(k/m)x:

[(k/m)x] = ((N/m)/kg) · m
= ((kg·m/s²)/m)/kg · m
= m/s²

Además, k/m tiene dimensión de inverso del tiempo al cuadrado:

[k/m] = s⁻²

Por eso su raíz cuadrada tiene unidad s⁻¹ y establece una escala temporal natural del sistema. En los próximos temas relacionaremos esta cantidad con la frecuencia angular y el período.

8.11 La ecuación no reemplaza las condiciones iniciales

La misma ecuación admite muchos movimientos. Una masa puede soltarse desde un extremo, impulsarse desde el equilibrio o comenzar con posición y velocidad simultáneamente distintas de cero.

Para seleccionar una evolución concreta necesitamos dos condiciones iniciales:

x(0) = x₀ y v(0) = v₀

Se requieren dos datos porque la ecuación es de segundo orden. Si solo conocemos x₀, no podemos distinguir entre una masa que se mueve hacia la derecha, hacia la izquierda o permanece momentáneamente quieta.

Los parámetros m y k definen el sistema; x₀ y v₀ definen el ensayo particular.

8.12 Convertir la ecuación en una regla de actualización

Una computadora representa el tiempo mediante pasos. En cada paso podemos calcular la fuerza desde la posición, obtener la aceleración y actualizar velocidad y posición. Un esquema semimplícito sencillo es:

function avanzarMasaResorte(estado, parametros, dtS) {
  const fuerzaN = -parametros.kNpm * estado.posicionM;
  const aceleracionMps2 = fuerzaN / parametros.masaKg;

  estado.velocidadMps += aceleracionMps2 * dtS;
  estado.posicionM += estado.velocidadMps * dtS;
  estado.tiempoS += dtS;

  return { fuerzaN, aceleracionMps2 };
}

const estado = { tiempoS: 0, posicionM: 0.5, velocidadMps: 0 };
const parametros = { masaKg: 1, kNpm: 20 };
const resultado = avanzarMasaResorte(estado, parametros, 0.01);
console.log("Nuevo estado:", estado);
console.log("Fuerza y aceleración:", resultado);

La actualización utiliza primero la nueva velocidad y luego la posición. Es una aproximación numérica: el resultado depende del tamaño dtS. Los métodos de integración, su estabilidad y su verificación se estudiarán con detalle en la parte de simulación del curso.

8.13 Organizar el modelo en JavaScript

Separar parámetros y estado hace explícito qué permanece fijo y qué evoluciona:

const sistema = {
  parametros: {
    masaKg: 2,
    kNpm: 50
  },
  estado: {
    tiempoS: 0,
    posicionM: 0.08,
    velocidadMps: 0.30
  }
};

function evaluarEstado(sistema) {
  const { masaKg, kNpm } = sistema.parametros;
  const { posicionM } = sistema.estado;
  const fuerzaN = -kNpm * posicionM;
  const aceleracionMps2 = fuerzaN / masaKg;
  return { fuerzaN, aceleracionMps2 };
}

console.log(evaluarEstado(sistema));
// { fuerzaN: -4, aceleracionMps2: -2 }

La función de evaluación no modifica el estado. Esta separación facilita comprobar los cálculos físicos antes de ejecutar muchos pasos de la simulación.

8.14 Laboratorio interactivo: integrar la ecuación

Elegí la masa, la rigidez y el estado inicial. La simulación evalúa F = −kx y a = F/m en cada paso. Podés avanzar un solo paso para inspeccionar la actualización o ejecutar varios de forma continua.

→ Fuerza elástica━ Posición calculadaLínea discontinua: equilibrio

Masa m: 1,00 kg Rigidez k: 20 N/m Posición inicial: 0,50 m Velocidad inicial: 0,00 m/s Paso temporal Δt: 0,010 s

Tiempo0,000 s

Posición x0,500 m

Velocidad v0,000 m/s

Fuerza F−10,000 N

Aceleración a−10,000 m/s²

Cociente k/m20,00 s⁻²

m · x'' = −k · x

a = −(20 N/m ÷ 1,00 kg) · 0,500 m = −10,000 m/s²

Estado inicial listo. La fuerza apunta hacia el equilibrio.

Avanzá un paso: observá que primero cambia la velocidad y después la posición.
Duplicá la masa: en el mismo x, la fuerza no cambia y la aceleración se reduce a la mitad.
Duplicá k: en el mismo x, se duplican fuerza y aceleración.
Partí del equilibrio con velocidad: la fuerza inicial es cero, pero el movimiento no permanece allí.
Cambiá Δt: compará trayectorias, recordando que se trata de una aproximación numérica.

8.15 Ejercicio propuesto

Una masa de 0,50 kg está unida a un resorte horizontal ideal de k = 32 N/m. En cierto instante se encuentra en x = −0,075 m y tiene velocidad v = −0,20 m/s.

Dibujá el sentido de la fuerza elástica.
Calculá la fuerza y la aceleración en ese instante.
Indicá si inicialmente aumenta o disminuye la rapidez.
Escribí la ecuación de movimiento con estos parámetros.
Calculá la nueva velocidad con un paso semimplícito de Δt = 0,010 s y luego la nueva posición.

Ver solución y explicación

Como x es negativa, la fuerza restauradora apunta hacia la derecha:

F = −32 N/m · (−0,075 m) = +2,4 N
a = 2,4 N / 0,50 kg = +4,8 m/s²

La velocidad apunta a la izquierda y la aceleración a la derecha, por lo que la rapidez disminuye inicialmente. La ecuación es 0,50x'' = −32x, o x'' + 64x = 0.

v_nueva = −0,20 m/s + 4,8 m/s² · 0,010 s = −0,152 m/s
x_nueva = −0,075 m + (−0,152 m/s) · 0,010 s = −0,07652 m

const estado = {
  tiempoS: 0,
  posicionM: -0.075,
  velocidadMps: -0.20
};
const parametros = { masaKg: 0.50, kNpm: 32 };

const dtS = 0.010;
const fuerzaN = -parametros.kNpm * estado.posicionM;
const aceleracionMps2 = fuerzaN / parametros.masaKg;
estado.velocidadMps += aceleracionMps2 * dtS;
estado.posicionM += estado.velocidadMps * dtS;
estado.tiempoS += dtS;

console.log(estado, { fuerzaN, aceleracionMps2 });

8.16 Ideas para recordar

La ecuación masa-resorte surge de combinar F = −kx con ΣF = ma.
Con el origen en el equilibrio, mx'' = −kx.
La aceleración instantánea es a = −(k/m)x.
La fuerza depende de k y x; la aceleración depende además de la masa.
La razón k/m posee unidad s⁻² y establece la escala temporal del movimiento.
La ecuación necesita posición y velocidad iniciales para determinar un movimiento concreto.
En el equilibrio, fuerza y aceleración son cero, pero la velocidad puede no serlo.
Una integración discreta aproxima la ecuación y debe verificarse frente a una solución conocida.