9. Movimiento armónico simple y solución sinusoidal

9.1 Qué caracteriza al movimiento armónico simple

Un movimiento es armónico simple cuando su aceleración es proporcional al desplazamiento respecto del equilibrio y tiene sentido opuesto:

La constante positiva ω² fija la intensidad de la respuesta. El signo menos expresa que la aceleración es restauradora.

Esta definición es más precisa que decir simplemente “un movimiento que se repite”. Existen oscilaciones periódicas que no son armónicas y movimientos periódicos que ni siquiera oscilan alrededor de un equilibrio.

9.2 El sistema masa-resorte cumple la condición

En el tema anterior obtuvimos para una masa m unida a un resorte ideal de constante k:

Al comparar con a = −ω²x, identificamos:

Elegimos la raíz positiva porque ω representa una frecuencia angular. La dirección restauradora ya está expresada por el signo menos de la ecuación.

Así, el sistema masa-resorte horizontal ideal realiza movimiento armónico simple siempre que la ley de Hooke sea válida y no existan fuerzas adicionales que alteren el modelo.

9.3 Buscar una función compatible con la ecuación

Necesitamos una función x(t) cuya segunda derivada sea la misma función multiplicada por un número negativo. Las funciones seno y coseno poseen justamente esa propiedad:

Por eso no elegimos una sinusoide solo porque su gráfico “parece una oscilación”. Su forma surge de la ecuación dinámica.

Una función lineal tiene segunda derivada cero y una exponencial real conserva su signo al derivarse dos veces. Ninguna satisface la relación restauradora para todos los instantes.

9.4 La solución amplitud–fase

Una forma compacta de escribir la familia de soluciones es:

Sus elementos son:

• A: amplitud, con la misma unidad que x;
• ω: frecuencia angular, en rad/s;
• t: tiempo, en segundos;
• φ₀: fase inicial, en radianes.

El argumento del coseno debe ser adimensional. Los radianes expresan una razón entre longitudes y se tratan dimensionalmente como unidad 1.

9.5 Comprobar la solución

Derivamos una vez para obtener la velocidad:

Derivamos nuevamente para obtener la aceleración:

Como x(t) = A cos(ωt + φ₀), resulta:

La igualdad se cumple para cualquier A y φ₀. Esos valores seleccionan un movimiento particular, pero no cambian la ecuación del oscilador.

9.6 Qué determina cada constante

La amplitud y la fase no forman parte de la ecuación x'' + ω²x = 0; aparecen al imponer el estado inicial. La frecuencia angular sí está fijada por los parámetros físicos del sistema.

9.7 Período y frecuencia de la solución

El coseno repite sus valores al aumentar su argumento en 2π. Para que la fase avance una vuelta completa debe cumplirse ωT = 2π. Entonces:

En un sistema masa-resorte, sustituir ω = √(k/m) produce:

Esta dependencia se analizará en detalle en el tema siguiente. Aquí alcanza con observar que A y φ₀ no aparecen en el período del modelo ideal lineal.

9.8 Condiciones iniciales sencillas

Si soltamos la masa desde el extremo positivo, x(0) = A y v(0) = 0. Podemos elegir φ₀ = 0 y escribir:

Si comienza en el extremo negativo, podemos usar φ₀ = π. Si atraviesa el equilibrio hacia valores positivos en t = 0, una opción es φ₀ = −π/2.

Hay fases equivalentes separadas por múltiplos de 2π. Por ejemplo, −π/2 y 3π/2 describen la misma etapa inicial.

9.9 La forma seno–coseno

Otra forma general de la solución es:

Esta expresión resulta cómoda cuando conocemos directamente las condiciones iniciales. Al evaluar en cero:

Por lo tanto:

Esta es la expresión utilizada en el laboratorio del tema anterior. Ahora sabemos que surge de la solución general de la ecuación armónica.

9.10 Convertir condiciones iniciales en amplitud y fase

Las formas amplitud–fase y seno–coseno describen la misma trayectoria. Al expandir A cos(ωt + φ₀):

De estas relaciones obtenemos:

La función atan2(y, x) utiliza los signos de ambas componentes para elegir el cuadrante correcto. Usar solo atan(y/x) puede producir una fase incorrecta y falla cuando x es cero.

9.11 Ejemplo: soltar desde un extremo

Una masa de 0,50 kg está unida a un resorte de 8 N/m. Se la separa 0,12 m hacia la derecha y se la suelta desde el reposo.

El período es T = 2π/4 = π/2 s ≈ 1,57 s. En t = π/8 s, la fase es 4 · π/8 = π/2, por lo que:

La masa atraviesa el equilibrio hacia la izquierda. La posición cero por sí sola no habría informado ese sentido.

9.12 Ejemplo con posición y velocidad iniciales

Un oscilador tiene ω = 3 rad/s, x₀ = 0,20 m y v₀ = 0,60 m/s.

La solución amplitud–fase es:

Al evaluar t = 0, obtenemos aproximadamente 0,20 m. La velocidad inicial resulta positiva porque −sen(−π/4) es positivo.

9.13 Una proyección del movimiento circular

Podemos imaginar un punto que gira uniformemente sobre una circunferencia de radio A. Su coordenada horizontal es A cos φ. Si el ángulo avanza como φ = ωt + φ₀, esa proyección realiza movimiento armónico simple.

Esta construcción geométrica ayuda a interpretar fase, seno y coseno. No afirma que la masa unida al resorte gire realmente: se trata de otra representación matemática de la misma función x(t).

Una vuelta completa del punto auxiliar corresponde a un ciclo completo del oscilador, lo que explica la aparición de 2π en las relaciones entre ω, T y f.

9.14 Cuándo no corresponde una solución sinusoidal

La solución anterior exige una ecuación de la forma x'' = −ω²x con ω constante. Debemos revisarla cuando:

• la fuerza restauradora no es proporcional al desplazamiento;
• el resorte sale de su región lineal;
• el rozamiento produce amortiguamiento apreciable;
• actúa una fuerza externa dependiente del tiempo;
• la masa o la rigidez cambian durante el movimiento;
• existen topes, holguras o impactos.

Algunos de estos sistemas todavía oscilan, pero su amplitud, período o forma dejan de corresponder a una sinusoide simple.

9.15 Implementar la solución en JavaScript

function estadoArmonico(tS, amplitudM, omegaRadS, faseInicialRad) {
  if (amplitudM < 0 || omegaRadS <= 0) {
    throw new RangeError("Amplitud o frecuencia angular no válida");
  }

  const fase = omegaRadS * tS + faseInicialRad;
  const posicionM = amplitudM * Math.cos(fase);
  const velocidadMps = -amplitudM * omegaRadS * Math.sin(fase);
  const aceleracionMps2 = -(omegaRadS ** 2) * posicionM;

  return { posicionM, velocidadMps, aceleracionMps2, fase };
}

console.log(estadoArmonico(Math.PI / 8, 0.12, 4, 0));

JavaScript recibe los ángulos en radianes. Si la fase inicial llega en grados, debe convertirse mediante faseRad = faseGrados * Math.PI / 180.

La aceleración se calcula aquí como −ω²x. También podría obtenerse evaluando el coseno y multiplicando por −Aω²; comparar ambas formas es una prueba útil.

9.16 Laboratorio interactivo: comprobar la solución

Modificá amplitud, frecuencia angular y fase inicial. La masa y el gráfico representan la solución exacta. En cada instante se comparan la aceleración obtenida al derivar y el término restaurador −ω²x.

• Cambiá A: se modifica el máximo alejamiento, pero T permanece igual.
• Cambiá ω: se modifica el período y también los valores máximos de velocidad y aceleración.
• Elegí 90°: la masa comienza en el equilibrio moviéndose hacia valores negativos.
• Compará las aceleraciones: las dos columnas deben coincidir en todo instante, salvo redondeo de presentación.

9.17 Ejercicio propuesto

Una masa de 0,80 kg está unida a un resorte ideal de k = 20 N/m. En t = 0 se encuentra en x₀ = 0 y se mueve hacia la derecha con v₀ = 1,0 m/s.

1. Calculá ω y el período.
2. Calculá la amplitud.
3. Elegí una fase inicial para una solución con coseno.
4. Escribí x(t) y v(t).
5. Calculá posición y velocidad después de un cuarto de período.

const masaKg = 0.80;
const kNpm = 20;
const omegaRadS = Math.sqrt(kNpm / masaKg);
const periodoS = 2 * Math.PI / omegaRadS;
const amplitudM = 1 / omegaRadS;
const faseInicialRad = -Math.PI / 2;

const tiempoS = periodoS / 4;
const faseRad = omegaRadS * tiempoS + faseInicialRad;
const estado = {
  posicionM: amplitudM * Math.cos(faseRad),
  velocidadMps: -amplitudM * omegaRadS * Math.sin(faseRad),
  aceleracionMps2: -(omegaRadS ** 2) * amplitudM * Math.cos(faseRad)
};
console.log({ omegaRadS, periodoS, amplitudM, estado });

9.18 Ideas para recordar

• El movimiento armónico simple cumple x'' = −ω²x.
• En un masa-resorte ideal, ω = √(k/m).
• La solución general puede escribirse como x = A cos(ωt + φ₀).
• Seno y coseno aparecen porque su segunda derivada es la función original con signo opuesto.
• La amplitud y la fase dependen de las condiciones iniciales; ω depende del sistema.
• La velocidad es −Aω sen(ωt + φ₀) y la aceleración es −ω²x.
• La forma x = x₀ cos(ωt) + (v₀/ω) sen(ωt) incorpora directamente el estado inicial.
• Una solución sinusoidal solo corresponde cuando la ecuación armónica representa adecuadamente el sistema.