Trabajo, Energía y Potencia - 10. Teorema trabajo

10.1 El puente entre trabajo y movimiento

El trabajo describe energía transferida por fuerzas durante un desplazamiento. La energía cinética describe el estado de movimiento. El teorema trabajo–energía enlaza ambas ideas sin necesidad de conocer el tiempo empleado.

Si las fuerzas realizan un trabajo neto positivo, la rapidez aumenta; si el trabajo neto es negativo, disminuye. El resultado depende de la suma de todos los trabajos, no de una fuerza aislada.

El trabajo neto es el mecanismo de cambio; la variación de energía cinética es el resultado.

10.2 Enunciado del teorema

W_neto = ΔK = K_f − K_i

Usando K = ½mv² para una masa constante:

W_neto = ½m·v_f² − ½m·v_i²

El teorema es válido para fuerzas constantes o variables y para trayectorias rectas o curvas, siempre que el trabajo neto incluya todas las fuerzas que actúan sobre el objeto durante el proceso.

10.3 Demostración para fuerza constante en una dimensión

Para una resultante constante paralela al movimiento, combinamos tres relaciones conocidas:

TrabajoW_neto = F_R·Δx

Segunda leyF_R = m·a

Cinemáticav_f² − v_i² = 2aΔx

ResultadoW_neto = ½m(v_f² − v_i²)

Sustituimos F_R = ma y luego aΔx = (v_f² − v_i²)/2. La expresión obtenida es K_f − K_i.

10.4 Forma general

Para una fuerza resultante variable, dividimos el recorrido en desplazamientos pequeños. Con F_R = m dv/dt y dr = vdt:

dW = F_R·dr = m(dv/dt)·vdt = mv·dv

Al acumular desde la velocidad inicial hasta la final:

W_neto = ∫mv·dv = ½mv_f² − ½mv_i²

Esta forma muestra que la trayectoria y la evolución temporal pueden ser complejas, pero el trabajo neto queda determinado por las rapidez de los estados extremos.

10.5 Interpretar el signo

W_neto > 0K_f > K_i: la rapidez final es mayor.

W_neto = 0K_f = K_i: la rapidez no cambia.

W_neto < 0K_f < K_i: la rapidez final es menor.

El teorema compara rapidez, no necesariamente velocidad vectorial. Un trabajo neto nulo permite que la dirección cambie mientras el módulo de la velocidad permanece constante.

10.6 Debe utilizarse el trabajo neto

Una fuerza aplicada puede realizar +500 J y el rozamiento −180 J. Si el peso y la normal realizan trabajo nulo, entonces:

W_neto = 500 J − 180 J = 320 J = ΔK

No sería correcto igualar los 500 J de la fuerza aplicada con ΔK, porque parte de esa transferencia queda compensada por el trabajo negativo del rozamiento.

10.7 Trabajo neto y estados extremos

Si conocemos masa, rapidez inicial y rapidez final, podemos obtener el trabajo neto sin saber cómo variaron las fuerzas entre ambos estados:

W_neto = ½m(v_f² − v_i²)

Esto no significa que el trabajo de cada fuerza sea independiente del camino. Diferentes combinaciones de fuerzas pueden producir la misma variación de energía cinética. El teorema determina su suma.

10.8 Ejemplo: aumentar la rapidez

Un carrito de 5 kg aumenta su rapidez de 2 m/s a 6 m/s:

K_i = ½·5·2² = 10 J
K_f = ½·5·6² = 90 J
W_neto = 90 J − 10 J = 80 J

El trabajo neto positivo de 80 J no es la energía cinética final: es el aumento desde los 10 J iniciales.

10.9 Ejemplo: detener un objeto

Una caja de 12 kg se mueve a 5 m/s y termina en reposo:

W_neto = 0 − ½·12·5² = −150 J

Para detenerla, las fuerzas deben realizar en conjunto un trabajo igual al negativo de su energía cinética inicial. El resultado no depende del tiempo de frenado; la fuerza distancia y la fuerza media sí se relacionan con cómo se distribuye ese trabajo.

10.10 Actividad interactiva: balance entre trabajo y energía

Elegí masa y rapidez inicial y final. Las marcas sobre K(v) y las barras muestran que la diferencia de energía coincide con el trabajo neto.

Laboratorio trabajo–energía

El trabajo neto aparece como la diferencia entre la barra final y la inicial.

Masa: 5 kg Rapidez inicial: 2 m/s Rapidez final: 6 m/s

Estados inicial y final sobre la curva de energía cinética.

K_i + W_neto = K_f.

Energía inicial10 J

Energía final90 J

ΔK80 J

Trabajo neto80 J

Trabajo neto positivo: la energía cinética y la rapidez aumentan.

10.11 Aplicar el teorema con JavaScript

function energiaCinetica(masaKg, rapidezMPorS) {
  return 0.5 * masaKg * rapidezMPorS ** 2;
}

function teoremaTrabajoEnergia(masaKg, rapidezInicial, rapidezFinal) {
  if (masaKg < 0 || rapidezInicial < 0 || rapidezFinal < 0) return null;

  const energiaInicialJ = energiaCinetica(masaKg, rapidezInicial);
  const energiaFinalJ = energiaCinetica(masaKg, rapidezFinal);
  const trabajoNetoJ = energiaFinalJ - energiaInicialJ;

  return { energiaInicialJ, energiaFinalJ, trabajoNetoJ };
}

const resultado = teoremaTrabajoEnergia(5, 2, 6);
console.log("K inicial:", resultado.energiaInicialJ, "J");
console.log("K final:", resultado.energiaFinalJ, "J");
console.log("Trabajo neto:", resultado.trabajoNetoJ, "J");

El programa conserva el signo de la diferencia. Las rapidez se validan como valores no negativos; si se dispone de velocidades con signo, primero puede utilizarse su valor absoluto o directamente elevarlas al cuadrado.

10.12 Despejar la rapidez final

Partiendo de W_neto = ½m(v_f² − v_i²):

v_f = √(v_i² + 2W_neto/m)

El contenido de la raíz debe ser no negativo. Si resulta negativo, los datos exigen retirar más energía cinética de la disponible. Físicamente, el objeto se habría detenido antes de completar el proceso supuesto.

La raíz entrega rapidez. El sentido de la velocidad final requiere información adicional sobre la trayectoria y las fuerzas.

10.13 Movimiento en dos y tres dimensiones

El teorema utiliza los módulos de las velocidades:

W_neto = ½m(|v_f|² − |v_i|²)

Una fuerza neta perpendicular a la velocidad puede cambiar la dirección sin cambiar la rapidez; en ese caso realiza trabajo instantáneo nulo y ΔK = 0. El movimiento circular uniforme es un ejemplo.

10.14 Comparar enfoques de resolución

Información destacada por dos enfoques complementarios.
Enfoque	Relaciona	Resulta útil cuando
Newton y cinemática	Fuerza, aceleración, tiempo y posición	Se necesita la evolución temporal o la aceleración.
Trabajo–energía	Fuerzas a lo largo del recorrido y rapidez	Interesan estados extremos y el tiempo no es necesario.

Ambos métodos describen la misma física y deben dar resultados compatibles cuando se aplican correctamente. Elegir uno depende de los datos disponibles y de la incógnita buscada.

10.15 Errores frecuentes

Usar el trabajo de una sola fuerza: el teorema requiere el trabajo neto.
Confundir K_f con ΔK: el cambio es K_f − K_i.
Invertir la resta: el orden final menos inicial determina el signo.
Concluir que W = 0 implica reposo: significa rapidez constante, no necesariamente velocidad nula.
Usar velocidades sin elevar al cuadrado: la energía depende de v².
Asignar sentido a la raíz: el despeje entrega rapidez no negativa.
Aceptar una raíz negativa: indica datos incompatibles con el proceso supuesto.
Mezclar marcos de referencia: ambas velocidades deben medirse en el mismo marco.

10.16 Ejercicios propuestos

Un objeto de 4 kg aumenta su rapidez de 3 m/s a 7 m/s. Calculá el trabajo neto.
Una pelota de 0,5 kg reduce su rapidez de 20 m/s a 12 m/s. Determiná ΔK e interpretá su signo.
Sobre una caja se realizan trabajos de +300 J, −80 J y −20 J. ¿Cuánto cambia su energía cinética?
Un cuerpo de 2 kg parte del reposo y recibe 100 J de trabajo neto. Calculá su rapidez final.
Un vehículo de 1000 kg circula a 10 m/s. ¿Qué trabajo neto se necesita para duplicar su rapidez?
Una fuerza cambia solamente la dirección de una velocidad de 8 m/s. ¿Cuál es el trabajo neto?
Para m = 3 kg, v_i = 4 m/s y W_neto = −30 J, analizá si existe una rapidez final real.
Modificá el código JavaScript para calcular v_f a partir de m, v_i y W_neto.

Ver soluciones y explicaciones

W_neto = ½·4·(7² − 3²) = 80 J.
ΔK = ½·0,5·(12² − 20²) = −64 J. El trabajo neto es negativo y la rapidez disminuye.
W_neto = 300 − 80 − 20 = 200 J; por lo tanto ΔK = +200 J.
v_f = √(2·100/2) = 10 m/s.
W_neto = ½·1000·(20² − 10²) = 150 000 J.
Cero, porque la rapidez y la energía cinética no cambian.
K_i = 24 J. Retirar 30 J exigiría K_f = −6 J, imposible. El cuerpo se detendría antes.
Se calcula el radicando v_i² + 2W/m; si es negativo se devuelve null, y en caso contrario su raíz cuadrada.

10.17 Ideas para recordar

El trabajo neto es igual a la variación de energía cinética.
W_neto = K_f − K_i = ½m(v_f² − v_i²).
Trabajo neto positivo aumenta la rapidez; negativo la disminuye.
El trabajo de una fuerza individual no debe confundirse con el trabajo neto.
Un trabajo neto nulo permite cambios de dirección con rapidez constante.
El teorema funciona con fuerzas variables y recorridos curvos.
La rapidez final puede obtenerse sin calcular el tiempo.
Las velocidades inicial y final deben pertenecer al mismo marco de referencia.

En el próximo tema aplicaremos el teorema trabajo–energía a problemas concretos de movimiento en una dimensión.