11. Aplicar el teorema trabajo–energía en una dimensión

11.1 De la ecuación general a una estrategia

El teorema W_neto = ΔK es breve, pero resolver un problema exige modelar la situación: elegir el objeto, identificar las fuerzas, decidir qué desplazamiento se analiza y conservar los signos.

En una dimensión todas las componentes relevantes pertenecen al mismo eje. Esto simplifica los productos escalares, pero no elimina la necesidad de distinguir fuerzas favorables, opuestas y perpendiculares.

11.2 Elegir el eje y el intervalo

Conviene orientar el eje x en el sentido del desplazamiento que se estudia. Si el objeto se mueve hacia +x durante una distancia d, entonces Δx = +d.

• Una fuerza hacia +x realiza trabajo positivo.
• Una fuerza hacia −x realiza trabajo negativo.
• Una fuerza perpendicular al eje realiza trabajo nulo.

El intervalo debe comenzar y terminar en estados claramente definidos: por ejemplo, desde que se aplica una fuerza hasta recorrer 8 m, o desde el inicio del frenado hasta detenerse.

11.3 Método de resolución

La ecuación central suele escribirse:

Es preferible mantenerla simbólica hasta incluir todos los trabajos. Así resulta más fácil revisar signos y unidades.

11.4 Bloque sobre una superficie horizontal

Un bloque avanza hacia la derecha bajo una fuerza horizontal F y un rozamiento f. El peso y la normal son perpendiculares al desplazamiento:

El balance queda:

La diferencia F − f es la resultante horizontal, pero el desarrollo por trabajos individuales deja visible qué interacción entrega y cuál retira energía.

11.5 Ejemplo: rapidez final con empuje y rozamiento

Una caja de 10 kg se mueve a 2 m/s. Una fuerza de 50 N la empuja durante 6 m y el rozamiento vale 20 N.

La comprobación de signo es inmediata: el trabajo neto es positivo y la rapidez final debe superar 2 m/s.

11.6 Frenado con fuerza constante

Si una fuerza de frenado de módulo f actúa en sentido opuesto durante una distancia d:

Para detenerse, v_f = 0:

Con masa y fuerza de frenado fijas, duplicar la rapidez inicial cuadruplica la distancia necesaria.

11.7 Comprobar si el objeto alcanza la posición final

Al calcular K_f = K_i + W_neto, puede aparecer un valor negativo. Como la energía cinética no puede ser negativa, esto no representa una velocidad imaginaria: indica que el objeto se detiene antes de completar la distancia supuesta.

11.8 Fuerza aplicada con un ángulo

Si una cuerda tira con módulo F formando un ángulo θ con el desplazamiento horizontal, solamente su componente F cos(θ) realiza trabajo:

La componente vertical puede modificar la normal y, por lo tanto, el rozamiento si este se calcula como f = μN. No debemos suponer automáticamente que f = μmg cuando existe una fuerza oblicua.

11.9 Fuerzas o superficies por tramos

Si la fuerza cambia al atravesar distintas regiones, sumamos el trabajo de cada tramo:

Podemos realizar un único balance entre el estado inicial y el final o actualizar la energía cinética después de cada tramo. El segundo método es necesario si queremos verificar que K no se vuelva negativa antes de llegar al final.

11.10 Actividad interactiva: ¿alcanza la distancia?

Ajustá las fuerzas, la masa, la rapidez inicial y la distancia. El laboratorio calcula los trabajos y verifica si la caja llega al extremo indicado.

11.11 Resolver y validar con JavaScript

function resolverMovimiento1D({ masaKg, rapidezInicial, fuerzaN, rozamientoN, distanciaM }) {
  const energiaInicialJ = 0.5 * masaKg * rapidezInicial ** 2;
  const trabajoAplicadoJ = fuerzaN * distanciaM;
  const trabajoRozamientoJ = -rozamientoN * distanciaM;
  const trabajoNetoJ = trabajoAplicadoJ + trabajoRozamientoJ;
  const energiaFinalJ = energiaInicialJ + trabajoNetoJ;

  if (energiaFinalJ < 0) {
    const fuerzaRetardadoraN = rozamientoN - fuerzaN;
    const distanciaDetencionM = energiaInicialJ / fuerzaRetardadoraN;
    return { alcanza: false, distanciaDetencionM };
  }

  return {
    alcanza: true,
    trabajoNetoJ,
    rapidezFinal: Math.sqrt(2 * energiaFinalJ / masaKg)
  };
}

const resultado = resolverMovimiento1D({
  masaKg: 10, rapidezInicial: 4, fuerzaN: 45,
  rozamientoN: 25, distanciaM: 6
});
console.log(resultado);

La distancia de detención solo se calcula cuando el rozamiento supera al empuje. La verificación de K_f evita devolver una raíz de un número negativo.

11.12 Despejar fuerza o distancia

El teorema no sirve únicamente para hallar rapidez. En el modelo horizontal constante:

Antes de usar el segundo despeje debemos revisar el signo del denominador. Si se busca aumentar la rapidez, F − f debe ser positivo. Si F = f, el trabajo neto es cero y no puede producirse el cambio solicitado.

11.13 Cambios de sentido

La ecuación energética determina rapidez, no el signo de la velocidad. Si una fuerza opuesta detiene un objeto y continúa actuando, el movimiento puede reiniciarse en sentido contrario.

Ese proceso debe dividirse en dos etapas: desde el estado inicial hasta el punto de detención y desde allí durante el movimiento inverso. Mantener un único signo de desplazamiento a través del retorno produciría trabajos incorrectos.

11.14 Verificaciones de coherencia

11.15 Errores frecuentes

• Asignar signos a partir del eje y no del desplazamiento: el trabajo depende de la orientación relativa.
• Sumar módulos de trabajos: el rozamiento debe aportar con signo negativo.
• Incluir peso y normal como Fd: son perpendiculares en un desplazamiento horizontal.
• Usar toda una fuerza oblicua: corresponde su componente paralela F cos(θ).
• Forzar una raíz de K negativa: el objeto se detuvo antes.
• Suponer f = μmg con una cuerda oblicua: la componente vertical modifica N.
• Olvidar la energía inicial: K_f = K_i + W_neto.
• Resolver un cambio de sentido como una sola etapa: debe separarse en el punto de detención.

11.16 Ejercicios propuestos

1. Una caja de 8 kg parte a 3 m/s. Recibe 40 N a favor y 16 N en contra durante 5 m. Calculá su rapidez final.
2. Un bloque de 6 kg se mueve a 10 m/s y una fuerza de 30 N lo frena. Hallá la distancia de detención.
3. Una fuerza de 100 N forma 60° con un desplazamiento de 8 m. El rozamiento vale 20 N y la masa 10 kg. Si parte del reposo, calculá v_f.
4. Un cuerpo tiene K_i = 90 J y recibe −120 J de trabajo neto durante una distancia propuesta. Explicá por qué no alcanza el final.
5. Una caja atraviesa 3 m con fuerza neta de 20 N y luego 2 m con fuerza neta de −10 N. Calculá el trabajo total.
6. Determiná la fuerza aplicada necesaria para llevar 5 kg de 2 m/s a 8 m/s en 6 m si el rozamiento vale 10 N.
7. Explicá por qué el teorema no determina si la velocidad final apunta hacia +x o −x.
8. Modificá el programa para aceptar una fuerza aplicada oblicua y calcular su componente horizontal.

11.17 Ideas para recordar

• Elegir el eje y el intervalo precede a cualquier cálculo.
• El balance completo es ΣW = K_f − K_i.
• Los trabajos se suman algebraicamente con sus signos.
• En una superficie horizontal, peso y normal realizan trabajo nulo.
• Una fuerza oblicua aporta mediante su componente paralela.
• K_f negativa indica que el objeto se detiene antes del final supuesto.
• La distancia de frenado crece con el cuadrado de la rapidez inicial.
• Los cambios de sentido deben dividirse en etapas.

En el próximo tema aplicaremos el teorema trabajo–energía en dos dimensiones, donde las fuerzas y los desplazamientos requieren componentes vectoriales.