12. Aplicar el teorema trabajo–energía en dos dimensiones

12.1 Qué cambia al trabajar en el plano

El teorema conserva la misma forma que en una dimensión: el trabajo neto realizado sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética. La diferencia es geométrica. Ahora una fuerza puede formar cualquier ángulo con el desplazamiento, y solo su componente paralela al movimiento transfiere energía.

La energía cinética depende de la rapidez, es decir, del módulo de la velocidad. Por eso el teorema informa cómo cambia la rapidez, pero no determina por sí solo la dirección de la velocidad final.

12.2 El trabajo como producto escalar

Si una fuerza constante F actúa mientras el objeto experimenta el desplazamiento Δr, su trabajo se calcula mediante:

El ángulo θ es el menor ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. No debe confundirse con el ángulo de cualquiera de los dos vectores respecto del eje horizontal.

12.3 Calcular por componentes

En coordenadas cartesianas, sean F = (F_x, F_y) y Δr = (Δx, Δy). El producto escalar puede calcularse sin obtener θ:

Ambos métodos son equivalentes. La forma FΔr cos θ suele ser cómoda cuando se conocen módulos y ángulos; la forma por componentes evita ambigüedades cuando los vectores ya están expresados mediante coordenadas.

12.4 Una estrategia de resolución

No es obligatorio elegir ejes horizontal y vertical. En un plano inclinado suele ser más simple tomar un eje paralelo y otro perpendicular a la superficie.

12.5 Sumar el trabajo de varias fuerzas

El trabajo neto es la suma escalar de los trabajos de todas las fuerzas externas que actúan sobre el objeto:

La segunda igualdad puede utilizarse cuando todas las fuerzas son constantes durante el mismo desplazamiento. Si alguna fuerza varía con la posición, su trabajo debe calcularse mediante una integral o por tramos antes de efectuar la suma.

Que una fuerza sea grande no implica que realice mucho trabajo: también importan el desplazamiento y el ángulo entre ambos vectores.

12.6 Ejemplo completo: trineo arrastrado con una cuerda

Un trineo de 20 kg parte con una rapidez de 2 m/s y se desplaza 12 m horizontalmente. Una cuerda tira con 50 N a 30° sobre la horizontal. El rozamiento cinético vale 18 N. Calculemos su rapidez final.

La componente vertical de la tensión no realiza trabajo porque no existe desplazamiento vertical. Sin embargo, puede reducir la normal y, si el rozamiento se calcula como μN, modificar indirectamente su valor.

12.7 Desplazamiento oblicuo

Un dron se desplaza desde (1, 2) m hasta (7, 6) m mientras una fuerza constante F = (12, −5) N actúa sobre él. El desplazamiento es:

El componente vertical de la fuerza realiza trabajo negativo porque apunta hacia abajo mientras el desplazamiento vertical apunta hacia arriba. El componente horizontal aporta más trabajo positivo, por lo que el resultado total es positivo.

12.8 Peso, altura y trayectoria

Cerca de la superficie terrestre, el peso es P = (0, −mg). Para un desplazamiento desde y_i hasta y_f:

El trabajo del peso solo depende del cambio de altura, no de si el recorrido fue recto, inclinado o curvo. Al ascender es negativo; al descender es positivo; si el objeto termina a la misma altura, el trabajo total del peso es cero.

12.9 La normal puede realizar trabajo nulo

En una superficie fija, la fuerza normal es perpendicular al desplazamiento instantáneo, por lo que su trabajo es cero. Esto ocurre tanto en una mesa horizontal como en una pista curva ideal: aunque la dirección de la normal cambie, permanece perpendicular a la velocidad.

12.10 Trayectorias curvas y fuerzas variables

Cuando la fuerza o la dirección del movimiento cambia a lo largo de una curva C, el trabajo se acumula mediante una integral de línea:

En cada tramo infinitesimal solo contribuye la componente tangencial de la fuerza. Una componente normal puede cambiar la dirección de la velocidad sin cambiar su módulo y, por lo tanto, sin modificar la energía cinética.

Para una fuerza conservativa, como la gravedad, el resultado depende solo de los extremos. Para el rozamiento, el trabajo generalmente depende de la longitud y de la forma del camino.

12.11 Actividad interactiva: orientación, trabajo y rapidez

Modificá la fuerza y el desplazamiento. El diagrama muestra ambos vectores; las barras representan K_i, W y K_f. La fuerza elegida se interpreta como la fuerza neta constante.

12.12 Resolver vectores con JavaScript

Una función de producto escalar permite separar la geometría vectorial del balance de energía:

function productoEscalar(a, b) {
  return a.x * b.x + a.y * b.y;
}

function rapidezFinal2D(masaKg, velocidadInicial, fuerzas, desplazamiento) {
  if (masaKg <= 0) return null;

  const rapidezInicial2 = productoEscalar(velocidadInicial, velocidadInicial);
  const trabajoNeto = fuerzas.reduce(
    (total, fuerza) => total + productoEscalar(fuerza, desplazamiento),
    0
  );
  const rapidezFinal2 = rapidezInicial2 + 2 * trabajoNeto / masaKg;

  if (rapidezFinal2 < 0) {
    return { trabajoNeto, alcanzaElPuntoFinal: false };
  }

  return {
    trabajoNeto,
    alcanzaElPuntoFinal: true,
    rapidezFinal: Math.sqrt(rapidezFinal2)
  };
}

const resultado = rapidezFinal2D(
  4,
  { x: 3, y: 4 },
  [{ x: 10, y: 2 }, { x: -3, y: -1 }],
  { x: 5, y: 2 }
);

console.log(resultado);

La velocidad inicial se usa solo para calcular |v_i|² = v_ix² + v_iy². El valor obtenido para la rapidez final no contiene información sobre su dirección.

12.13 Qué ocurre si la energía calculada es negativa

La expresión K_f = K_i + W_neto nunca puede representar una energía cinética negativa. Si el cálculo produce K_f < 0, el objeto no puede llegar al punto final siguiendo el movimiento supuesto: se detiene antes o cambia el régimen físico.

Para ubicar el punto de detención se plantea el teorema con K = 0 y se resuelve el desplazamiento correspondiente.

12.14 Energía y dirección final

Supongamos que el teorema determina v_f = 8 m/s. Son compatibles con ese resultado velocidades como (8, 0), (0, 8) o aproximadamente (5,66, 5,66) m/s. Todas tienen igual módulo y energía cinética.

Para conocer las componentes finales se necesita información adicional: impulso, ecuaciones de Newton, restricciones geométricas o la dirección tangente a una trayectoria conocida.

12.15 Comprobaciones y errores frecuentes

• Usar el ángulo respecto del eje x: debe usarse el ángulo entre fuerza y desplazamiento.
• Sumar módulos: el producto escalar por componentes conserva los signos.
• Olvidar una fuerza: ΔK se relaciona con el trabajo neto, no con una fuerza aislada.
• Asignar trabajo a toda fuerza perpendicular: si F·dr = 0, su trabajo es nulo aunque su módulo sea grande.
• Confundir rapidez con velocidad: la raíz entrega un escalar no negativo.
• Suponer desplazamiento igual a distancia recorrida: coinciden en una trayectoria recta sin cambio de sentido, pero no en general.
• Ignorar las unidades: N·m debe expresarse como joule.

12.16 Ejercicios propuestos

1. Una fuerza de 30 N forma 60° con un desplazamiento recto de 8 m. Calcular su trabajo.
2. Sobre un objeto actúan F₁ = (6, 4) N y F₂ = (−2, 3) N durante Δr = (5, −2) m. Hallar el trabajo neto.
3. Un cuerpo de 3 kg se mueve inicialmente a 4 m/s. El trabajo neto durante un recorrido es 54 J. Calcular su rapidez final.
4. Una caja de 10 kg con rapidez inicial de 3 m/s se desplaza 5 m hacia el este. Recibe una fuerza de 20 N a 120° medidos desde el este. Decidir si alcanza el extremo suponiendo que esa es la fuerza neta constante.
5. Una pelota de 2 kg desciende 7 m y aumenta su rapidez de 3 m/s a 10 m/s. Calcular el trabajo de la gravedad y el trabajo conjunto de las demás fuerzas, usando g = 9,8 m/s².

12.17 Ideas para recordar

• En dos dimensiones, el teorema sigue siendo W_neto = ΔK.
• El trabajo de una fuerza constante es un producto escalar: F·Δr.
• Por componentes, W = F_xΔx + F_yΔy.
• Solo la componente paralela al desplazamiento transfiere energía.
• El signo del trabajo indica si una fuerza aumenta o disminuye la energía cinética.
• La energía permite obtener la rapidez final, no su dirección.
• Una energía final negativa indica que el punto supuesto no es alcanzable.

En el próximo tema compararemos los enfoques de fuerzas, cinemática y energía para elegir el método más eficiente según los datos y la incógnita.