14. Fuerzas conservativas y dependencia entre trabajo y trayectoria

14.1 El camino puede importar

Imaginemos dos rutas que unen los mismos puntos A y B. Una es corta y directa; la otra es larga y sinuosa. Una fuerza gravitatoria realiza el mismo trabajo en ambas si la altura inicial y final coincide. En cambio, el rozamiento suele retirar más energía en el camino más largo.

Esta diferencia separa las fuerzas en dos grandes grupos: conservativas y no conservativas. La clasificación se refiere al trabajo realizado por una fuerza a lo largo de trayectorias, no a si la fuerza es constante ni a si conserva su módulo.

14.2 Definición de fuerza conservativa

Una fuerza es conservativa en una región si el trabajo que realiza entre dos puntos depende solo de las posiciones inicial y final, y no de la trayectoria seguida:

Por eso, cualquier par de caminos C₁ y C₂ entre los mismos extremos cumple:

La definición debe cumplirse para todos los caminos permitidos dentro de la región considerada, no solo para dos ejemplos particulares.

14.3 Propiedades equivalentes

Bajo condiciones matemáticas usuales y en una región sin discontinuidades ni agujeros problemáticos, estas tres afirmaciones son equivalentes. Cada una ofrece un criterio distinto para reconocer y utilizar una fuerza conservativa.

14.4 Trabajo en una trayectoria cerrada

Si una fuerza conservativa lleva un objeto de A hasta B y luego lo devuelve de B hasta A, los trabajos se cancelan:

El símbolo ∮ indica una integral sobre un camino cerrado. Si se encuentra un circuito para el cual el trabajo de la fuerza es distinto de cero, esa observación basta para demostrar que la fuerza no es conservativa en la región.

14.5 Ejemplos de ambos tipos

Una fuerza constante uniforme también es conservativa: su trabajo es F·(r_f − r_i). No debe confundirse “conservativa” con “variable” o “constante”.

14.6 La gravedad cerca de la superficie terrestre

Tomemos el eje y positivo hacia arriba. El peso es P = (0, −mg). Para cualquier trayectoria entre alturas y_i e y_f:

Las partes horizontales y la forma del recorrido no aparecen en el resultado. Si el objeto desciende, y_i > y_f y el trabajo es positivo. Si asciende, el trabajo es negativo.

14.7 Dos caminos bajo la acción de la gravedad

En el primer camino el objeto puede descender verticalmente y luego avanzar en horizontal. En el segundo puede recorrer una pendiente suave. Al dividir cada trayectoria en pequeños desplazamientos, el producto P·dr solo conserva la parte vertical:

Al integrar, todos los detalles intermedios desaparecen y solo quedan y_i e y_f. Si luego se regresa al punto inicial, el ascenso aporta exactamente el trabajo opuesto y el balance gravitatorio del circuito es cero.

14.8 La fuerza elástica de un resorte ideal

Según la ley de Hooke, un resorte ideal ejerce F_e = −kx en una dimensión, donde x es la deformación respecto del equilibrio y k es la constante elástica. Su trabajo desde x_i hasta x_f es:

El resultado depende solo de las deformaciones inicial y final. Si el resorte vuelve a la misma deformación, su trabajo neto es cero. La fuerza puede cambiar de módulo y de sentido sin perder su carácter conservativo.

14.9 Rozamiento y longitud recorrida

Si un bloque se desliza sobre una superficie con rozamiento cinético de módulo constante f_k, la fuerza se opone al movimiento en cada punto. Su trabajo es:

L es la distancia total recorrida sobre la superficie, no el módulo del desplazamiento entre extremos. Dos caminos de longitudes diferentes producen trabajos diferentes aunque comiencen y terminen en los mismos puntos.

14.10 Fuerzas conservativas y energía potencial

La independencia del camino permite asociar una función de energía potencial U a cada fuerza conservativa. Su variación se define como el negativo del trabajo conservativo:

Cuando una fuerza conservativa realiza trabajo positivo, la energía potencial asociada disminuye. Cuando realiza trabajo negativo, la energía potencial aumenta. Solo las diferencias de U tienen significado físico directo; el nivel cero puede elegirse por conveniencia.

Los próximos temas desarrollarán esta relación. Aquí importa comprender por qué U puede depender de la posición: el trabajo conservativo no necesita recordar el camino.

14.11 Trabajo neto y fuerzas no conservativas

El teorema trabajo–energía siempre utiliza el trabajo de todas las fuerzas:

Al sustituir W_c = −ΔU se obtiene una forma muy útil:

Así, el trabajo de las fuerzas no conservativas mide el cambio de energía mecánica K + U. El rozamiento puede disminuirla, mientras un motor puede aumentarla. La energía total no desaparece: puede transformarse en energía interna, térmica, sonora u otras formas.

14.12 Actividad interactiva: mismos extremos, distintos caminos

Los caminos A y B unen los mismos niveles, pero sus longitudes pueden ser diferentes. Compará el trabajo de la gravedad y el del rozamiento, y observá cómo cambia la rapidez final.

14.13 Comparar trayectorias con JavaScript

function analizarCamino({ masa, descenso, rapidezInicial,
                          fuerzaRozamiento, longitud, gravedad = 9.8 }) {
  if (masa <= 0 || descenso < 0 || rapidezInicial < 0 ||
      fuerzaRozamiento < 0 || longitud < descenso) return null;

  const trabajoGravedad = masa * gravedad * descenso;
  const trabajoRozamiento = -fuerzaRozamiento * longitud;
  const trabajoNeto = trabajoGravedad + trabajoRozamiento;
  const energiaInicial = 0.5 * masa * rapidezInicial ** 2;
  const energiaFinal = energiaInicial + trabajoNeto;

  return {
    trabajoGravedad,
    trabajoRozamiento,
    trabajoNeto,
    alcanzaElFinal: energiaFinal >= 0,
    rapidezFinal: energiaFinal >= 0
      ? Math.sqrt(2 * energiaFinal / masa)
      : null
  };
}

const datos = { masa: 3, descenso: 5, rapidezInicial: 2,
                fuerzaRozamiento: 4 };
console.log("Camino A:", analizarCamino({ ...datos, longitud: 6 }));
console.log("Camino B:", analizarCamino({ ...datos, longitud: 10 }));

La validación longitud ≥ descenso expresa una restricción geométrica: ningún camino espacial entre dos niveles puede ser más corto que la separación vertical. En un modelo más general también se incluirían otros trabajos y variaciones del rozamiento.

14.14 Cómo reconocer una fuerza conservativa

En dos dimensiones, si F = (F_x, F_y) tiene derivadas continuas en una región simplemente conexa, puede usarse el criterio:

Este criterio es una herramienta de cálculo vectorial. No reemplaza el análisis del dominio: una región con puntos excluidos puede requerir un estudio adicional.

14.15 Modelar correctamente el sistema

La etiqueta “conservativa” pertenece a una fuerza y a una región de análisis. Un sistema puede contener simultáneamente gravedad conservativa, rozamiento no conservativo y una fuerza externa aplicada.

• Especificar los estados inicial y final.
• Distinguir desplazamiento entre extremos de distancia total recorrida.
• Calcular por separado el trabajo de cada fuerza.
• Identificar cuáles pueden representarse mediante energía potencial.
• Comprobar si el cuerpo realmente completa la trayectoria supuesta.

El teorema trabajo–energía sigue siendo válido para todas las fuerzas. La clasificación determina cómo conviene calcular y organizar los términos, no si deben incluirse.

14.16 Errores frecuentes

• Confundir fuerza conservativa con energía conservada: la energía mecánica puede cambiar si además actúan fuerzas no conservativas.
• Creer que una fuerza constante siempre realiza el mismo trabajo: también deben conservarse los mismos extremos.
• Usar desplazamiento en el trabajo del rozamiento: suele requerirse la distancia total recorrida.
• Suponer que toda fuerza variable es no conservativa: la gravedad y el resorte son contraejemplos.
• Olvidar el signo W_c = −ΔU: trabajo positivo significa disminución del potencial.
• Probar un solo camino: no alcanza para establecer independencia respecto de todas las trayectorias.
• Ignorar el dominio: los criterios diferenciales requieren condiciones sobre la región.

14.17 Ejercicios propuestos

1. Una mochila de 6 kg desciende desde 12 m hasta 4 m por dos senderos diferentes. Calcular el trabajo de la gravedad en cada uno con g = 9,8 m/s².
2. Un resorte de k = 300 N/m pasa de una deformación de 8 cm a otra de 3 cm. Calcular el trabajo de la fuerza elástica.
3. Una fuerza de rozamiento constante de 7 N actúa en dos caminos de 5 m y 11 m entre los mismos puntos. Comparar sus trabajos.
4. Una fuerza realiza 35 J de A a B por un camino. Si es conservativa, ¿qué trabajo realiza de B a A? ¿Cuál es el trabajo en el circuito completo?
5. Un bloque de 2 kg parte a 1 m/s y desciende 3 m por una pista de 5 m. El rozamiento vale 4 N. Determinar si llega al final y su rapidez.

14.18 Ideas para recordar

• Una fuerza conservativa realiza un trabajo que depende solo de los extremos.
• Su trabajo sobre cualquier circuito cerrado es cero.
• Gravedad, fuerza elástica ideal y fuerza electrostática son ejemplos conservativos.
• Rozamiento y resistencia del aire son fuerzas no conservativas.
• El trabajo conservativo puede expresarse como el negativo de un cambio de energía potencial.
• El rozamiento suele depender de la distancia total, no solo del desplazamiento.
• El teorema trabajo–energía incluye por igual ambos tipos de fuerza.

En el próximo tema estudiaremos la energía potencial y la elección del nivel de referencia, aprovechando la independencia del camino que acabamos de establecer.