16. Relación entre el trabajo de una fuerza conservativa y la energía potencial

16.1 La igualdad fundamental

Para una fuerza conservativa, el trabajo realizado al pasar de un estado inicial i a un estado final f es el negativo del cambio de energía potencial asociado:

La igualdad contiene dos descripciones del mismo intercambio. El trabajo observa lo que la fuerza transfiere durante el movimiento; la energía potencial compara la configuración al principio y al final.

16.2 Por qué aparece el signo negativo

El signo no es una convención aislada. Garantiza que, cuando solo actúan fuerzas conservativas, la energía que pierde U aparece como aumento de K y viceversa.

16.3 Derivación para cambios finitos

La energía potencial se define usando el trabajo de la fuerza conservativa desde un punto de referencia r₀ hasta una posición r:

Al escribir esta expresión para los estados inicial y final y restarlas, el punto de referencia se cancela:

La cancelación muestra por qué el resultado no depende del cero elegido para U.

16.4 Relación diferencial

Para un desplazamiento infinitesimal dr, el trabajo elemental es dW_c = F_c·dr. La igualdad fundamental se convierte en:

Esta relación indica cuánto cambia el potencial ante un pequeño desplazamiento. Solo la componente de la fuerza paralela a dr interviene. En una trayectoria perpendicular a la fuerza, dU = 0.

16.5 Obtener la fuerza a partir del potencial

En una dimensión, dU = −F_xdx conduce a:

En tres dimensiones se utiliza el gradiente:

La fuerza apunta hacia la dirección en que U disminuye más rápidamente. Una región de potencial constante produce fuerza nula; una pendiente pronunciada corresponde a una fuerza de gran módulo.

16.6 Aplicación a la gravedad uniforme

Con eje y positivo hacia arriba, U_g = mgy + C. La fuerza se recupera derivando:

Entre alturas y_i e y_f:

Un descenso reduce U_g y produce trabajo gravitatorio positivo. Un ascenso aumenta U_g y produce trabajo gravitatorio negativo, independientemente de la forma de la trayectoria.

16.7 Aplicación a un resorte ideal

Para U_e(x) = ½kx², la derivada recupera la ley de Hooke:

El trabajo elástico entre x_i y x_f es:

Si el resorte se acerca a su longitud natural, |x| disminuye, U_e baja y el trabajo es positivo. Si se comprime o estira más, el trabajo elástico es negativo.

16.8 Ejemplo resuelto: bloque y resorte

Un bloque de 2 kg se mueve a 1 m/s unido a un resorte de k = 100 N/m. Pasa de x_i = 0,30 m a x_f = 0,10 m sobre una superficie sin rozamiento.

Por el teorema trabajo–energía:

El resorte pierde 4 J de energía potencial y el bloque gana exactamente 4 J de energía cinética.

16.9 Varias fuerzas conservativas

Si actúan gravedad, fuerza elástica y otras fuerzas conservativas, se suman sus potenciales:

La igualdad puede verificarse término por término:

Las constantes de referencia de cada potencial desaparecen al calcular los cambios.

16.10 De trabajo–energía a energía mecánica

Si solo realizan trabajo fuerzas conservativas, el teorema trabajo–energía dice W_c = ΔK. Sustituimos W_c = −ΔU:

La suma E_m = K + U se conserva. La energía puede pasar continuamente de cinética a potencial, pero la suma permanece constante mientras no haya trabajo no conservativo.

16.11 Incluir fuerzas no conservativas

Cuando también actúan rozamiento, motores u otras fuerzas no conservativas:

Esta forma separa las interacciones almacenables mediante U de las transferencias que cambian la energía mecánica. Un trabajo no conservativo negativo suele convertir energía mecánica en energía interna o térmica.

16.12 Ejemplo con gravedad y rozamiento

Un bloque de 5 kg parte del reposo y desciende 2 m de altura por una rampa. El rozamiento realiza −30 J. Con g = 9,8 m/s²:

La gravedad libera 98 J de potencial; 30 J dejan de formar parte de la energía mecánica por el rozamiento y 68 J aparecen como energía cinética.

16.13 Actividad interactiva: trabajo y potencial elástico

Elegí las deformaciones inicial y final de un resorte. La curva muestra U(x), y el balance comprueba simultáneamente W_e = −ΔU_e y K_f = K_i + W_e.

16.14 Implementar el balance con JavaScript

function potencialElastico(k, x) {
  return 0.5 * k * x ** 2;
}

function procesoConResorte({ k, xInicial, xFinal,
                             masa, rapidezInicial }) {
  if (k < 0 || masa <= 0 || rapidezInicial < 0) return null;

  const potencialInicial = potencialElastico(k, xInicial);
  const potencialFinal = potencialElastico(k, xFinal);
  const cambioPotencial = potencialFinal - potencialInicial;
  const trabajoElastico = -cambioPotencial;
  const cineticaInicial = 0.5 * masa * rapidezInicial ** 2;
  const cineticaFinal = cineticaInicial + trabajoElastico;

  return {
    cambioPotencial,
    trabajoElastico,
    fuerzaInicial: -k * xInicial,
    fuerzaFinal: -k * xFinal,
    estadoAccesible: cineticaFinal >= 0,
    rapidezFinal: cineticaFinal >= 0
      ? Math.sqrt(2 * cineticaFinal / masa)
      : null
  };
}

console.log(procesoConResorte({
  k: 100, xInicial: 0.3, xFinal: 0.1,
  masa: 2, rapidezInicial: 1
}));

El programa conserva los signos de ΔU y W. Antes de calcular la raíz comprueba si la energía cinética final es no negativa; de lo contrario, la configuración solicitada no puede alcanzarse sin aporte externo.

16.15 Diagramas de potencial y puntos de retorno

En un sistema conservativo unidimensional, la energía mecánica E = K + U es constante y K = E − U. Como K no puede ser negativa:

Los puntos donde U(x) = E tienen K = 0 y velocidad instantánea nula. Son puntos de retorno si la fuerza obliga a la partícula a regresar. Las regiones con U(x) > E son clásicamente inaccesibles.

En el potencial elástico, una partícula oscila entre dos deformaciones opuestas donde toda la energía mecánica es potencial. Al pasar por x = 0, U es mínima y la rapidez es máxima.

16.16 Procedimiento y comprobaciones

Una comprobación rápida consiste en sumar W_c + ΔU: para una fuerza conservativa y los mismos estados, el resultado debe ser cero dentro del redondeo numérico.

16.17 Errores frecuentes

• Invertir la resta: ΔU siempre es U_f − U_i.
• Olvidar el signo negativo: el trabajo conservativo es U_i − U_f.
• Duplicar la fuerza: incluir W_g y ΔU_g como aportes distintos cuenta la gravedad dos veces.
• Usar energía potencial para el rozamiento: una fuerza no conservativa requiere su trabajo u otra transferencia explícita.
• Confundir fuerza con energía: F se mide en newtons y U en joules; se relacionan mediante una derivada espacial.
• Ignorar la dirección: la energía entrega rapidez, no el signo de la velocidad.
• Aceptar K negativa: indica que el estado final supuesto no es accesible con los datos dados.

16.18 Ejercicios propuestos

1. Una fuerza conservativa realiza 75 J al llevar un objeto de A a B. Calcular ΔU y el trabajo de B a A.
2. Una masa de 3 kg desciende 4 m. Calcular ΔU_g y W_g usando g = 9,8 m/s².
3. Un resorte de 200 N/m pasa de x_i = 0,05 m a x_f = 0,15 m. Calcular ΔU_e y W_e.
4. Una partícula se mueve en U(x) = 4x² + 3x, expresada en joules con x en metros. Obtener F(x) y evaluarla en x = 2 m.
5. Un bloque de 1 kg parte a 2 m/s unido a un resorte de 80 N/m desde x_i = 0. Calcular si puede alcanzar x_f = 0,30 m sin aporte externo.

16.19 Ideas para recordar

• El trabajo conservativo es W_c = −ΔU = U_i − U_f.
• En forma diferencial, dU = −F·dr.
• La fuerza se obtiene del potencial mediante F = −∇U.
• Una disminución de U produce trabajo conservativo positivo.
• Si solo actúan fuerzas conservativas, K + U permanece constante.
• El trabajo no conservativo modifica la energía mecánica.
• Los estados con U > E son inaccesibles en el modelo clásico conservativo.

En el próximo tema aplicaremos estas ideas específicamente al trabajo de la gravedad cerca de la superficie terrestre.