17. Trabajo de la gravedad cerca de la superficie terrestre

17.1 El modelo de campo gravitatorio uniforme

Cerca de la superficie terrestre y para cambios de altura pequeños comparados con el radio de la Tierra, la aceleración gravitatoria puede considerarse constante. Si el eje y apunta hacia arriba:

Usaremos habitualmente g = 9,8 m/s². El peso apunta verticalmente hacia abajo y tiene módulo P = mg. Este modelo simplifica el cálculo sin describir en detalle la atracción entre la Tierra y el objeto.

17.2 Deducción mediante producto escalar

Un objeto pasa de r_i = (x_i, y_i) a r_f = (x_f, y_f). Su desplazamiento es:

Como el peso es constante, su trabajo es el producto escalar:

17.3 Interpretar el signo

El signo depende de la comparación entre alturas, no del signo de las coordenadas individuales. Dos puntos bajo el nivel elegido pueden producir trabajo positivo, negativo o nulo.

17.4 El desplazamiento horizontal no contribuye

El componente horizontal del peso es cero. Por eso el término 0·Δx desaparece siempre. Un objeto que se desplaza horizontalmente a altura constante recibe trabajo gravitatorio nulo.

Esto no significa que la gravedad haya dejado de actuar. Puede modificar fuerzas de contacto o mantener una trayectoria, pero al ser perpendicular al desplazamiento no transfiere energía cinética en ese tramo.

17.5 Independencia de la trayectoria

El trabajo gravitatorio solo contiene y_i e y_f. Una caída vertical, una rampa y una pista curva producen el mismo W_g si conectan las mismas alturas.

Esta independencia confirma que la gravedad uniforme es una fuerza conservativa.

17.6 Cálculo mediante módulo y ángulo

También puede usarse W = P·d·cos θ, donde θ es el ángulo entre el peso y el desplazamiento recto. Si el desplazamiento tiene módulo d y forma un ángulo α sobre la horizontal, entonces Δy = d sen α.

La forma por alturas suele ser más segura porque evita confundir el ángulo del plano con el ángulo entre peso y desplazamiento.

17.7 Ejemplo: caída vertical

Una pelota de 0,8 kg cae desde 15 m hasta 4 m. El descenso es 11 m:

El trabajo es positivo porque peso y desplazamiento tienen el mismo sentido general. El resultado no depende del tiempo de caída ni de la rapidez inicial.

17.8 Ejemplo: subir por un plano inclinado

Una caja de 12 kg asciende 6 m por una rampa que forma 30° con la horizontal. El cambio de altura es:

La longitud de 6 m se utiliza únicamente para obtener la altura. Otra rampa que alcance 3 m de elevación produciría el mismo trabajo gravitatorio.

17.9 Recorridos por tramos

Supongamos que una carga sube 4 m, baja 1,5 m y luego sube 2 m. El cambio neto de altura es 4 − 1,5 + 2 = 4,5 m. Para una masa de 10 kg:

Si calculamos cada tramo, obtenemos −392 J, +147 J y −196 J. La suma también es −441 J. Las alturas intermedias no modifican el resultado final.

17.10 Trayectorias curvas

En una curva, el desplazamiento elemental es dr = (dx, dy). El trabajo se integra:

Aunque dx y la pendiente cambien continuamente, solo se acumula la variación vertical. Por esta razón no necesitamos conocer la ecuación completa de la curva para calcular el trabajo del peso.

17.11 Proyectiles

Durante un tiro parabólico sin resistencia del aire, la gravedad realiza trabajo negativo mientras el proyectil asciende y positivo mientras desciende. Entre dos puntos de igual altura, su trabajo neto es cero.

Al regresar a la altura de lanzamiento, la gravedad recupera exactamente ese trabajo. Por ello, el módulo de la velocidad vuelve a ser el inicial si no actúan fuerzas disipativas, aunque su componente vertical tenga sentido opuesto.

17.12 Trabajo del peso y trabajo de una fuerza externa

Si una persona eleva lentamente un objeto con rapidez constante, el trabajo neto es cero. La fuerza externa equilibra el peso:

No debe confundirse el trabajo de la gravedad con el trabajo total. Durante un ascenso, la gravedad realiza trabajo negativo aunque otra fuerza aporte energía suficiente para elevar el objeto.

17.13 Obtener la rapidez mediante trabajo–energía

Si solo la gravedad realiza trabajo:

La masa se cancela y queda:

La igualdad entrega rapidez. Si el término derecho resulta negativo, el cuerpo no puede alcanzar la altura final con la energía cinética inicial disponible. Se detiene antes y, si no existe una restricción, comienza a descender.

17.14 Actividad interactiva: desplazamiento y trabajo gravitatorio

Modificá el desplazamiento horizontal sin cambiar las alturas y comprobá que W_g permanece igual. El peso se considera la única fuerza que realiza trabajo; una guía ideal puede fijar la trayectoria mediante fuerzas normales de trabajo nulo.

17.15 Calcular el trabajo gravitatorio con JavaScript

function trabajoGravedad({ masa, posicionInicial, posicionFinal,
                           gravedad = 9.8 }) {
  if (masa < 0 || gravedad < 0) return null;

  const desplazamiento = {
    x: posicionFinal.x - posicionInicial.x,
    y: posicionFinal.y - posicionInicial.y
  };
  const peso = { x: 0, y: -masa * gravedad };
  const trabajoHorizontal = peso.x * desplazamiento.x;
  const trabajoVertical = peso.y * desplazamiento.y;

  return {
    desplazamiento,
    trabajoHorizontal,
    trabajoVertical,
    trabajoTotal: trabajoHorizontal + trabajoVertical
  };
}

console.log(trabajoGravedad({
  masa: 2,
  posicionInicial: { x: 0, y: 8 },
  posicionFinal: { x: 6, y: 3 }
}));

Separar las contribuciones hace visible que cualquier cambio en x deja intacto el resultado. El programa conserva el signo de Δy y evita utilizar valores absolutos que borrarían la diferencia entre ascender y descender.

17.16 Límites del modelo

La expresión W_g = mg(y_i − y_f) supone que g mantiene módulo y dirección constantes. Es excelente para edificios, rampas, proyectiles ordinarios y experimentos de laboratorio.

También debe distinguirse la aceleración gravitatoria local del valor aproximado 9,8 m/s². En otros planetas o lunas se reemplaza g por el valor correspondiente si el campo puede considerarse uniforme.

17.17 Procedimiento y comprobaciones

17.18 Errores frecuentes

• Usar la distancia total: el trabajo gravitatorio uniforme depende del cambio de altura.
• Tomar siempre mgd: falta considerar el ángulo o la componente vertical.
• Eliminar el signo de Δy: convierte ascensos y descensos en el mismo proceso.
• Confundir peso y masa: la masa se mide en kg; el peso mg, en N.
• Suponer W_g = ΔK: solo es cierto cuando las demás fuerzas realizan trabajo nulo.
• Creer que trabajo nulo implica gravedad nula: puede existir una fuerza perpendicular al desplazamiento.
• Aplicar g constante a cualquier escala: el modelo tiene un dominio de validez limitado.

17.19 Ejercicios propuestos

1. Una caja de 7 kg baja desde 9 m hasta 2 m. Calcular el trabajo de la gravedad.
2. Una mochila de 5 kg se transporta horizontalmente 30 m a altura constante. Calcular W_g.
3. Un bloque de 10 kg sube 8 m por una rampa de 25°. Calcular el cambio de altura y W_g.
4. Una pelota de 0,4 kg pasa de (2, 12) m a (18, 5) m. Calcular por componentes el trabajo gravitatorio.
5. Una piedra se lanza hacia arriba a 14 m/s. Sin resistencia del aire, calcular la elevación máxima mediante trabajo–energía.

17.20 Ideas para recordar

• Cerca de la Tierra, el peso puede aproximarse por P = (0, −mg).
• El trabajo gravitatorio es W_g = mg(y_i − y_f) = −mgΔy.
• Un descenso produce trabajo positivo; un ascenso, negativo.
• El desplazamiento horizontal no contribuye al trabajo del peso.
• El resultado depende solo de las alturas inicial y final.
• Si solo trabaja la gravedad, v_f² = v_i² + 2g(y_i − y_f).
• La aproximación de g constante no es adecuada a escala orbital.

En el próximo tema expresaremos estos mismos intercambios mediante la energía potencial gravitatoria en un campo uniforme.