18. Energía potencial gravitatoria en un campo uniforme

18.1 Del trabajo gravitatorio al potencial

Cerca de la superficie terrestre, el peso puede aproximarse por una fuerza constante P = (0, −mg). Su trabajo entre alturas y_i e y_f es:

Como la gravedad es conservativa, ΔU_g = −W_g:

La energía potencial aumenta al subir y disminuye al bajar. Solo la diferencia vertical importa.

18.2 Construcción de la función Ug(y)

Elegimos una altura de referencia y_ref donde asignamos U_g = 0. Para una altura cualquiera y:

Si se adopta y_ref = 0, la expresión se reduce a la forma conocida U_g = mgy.

18.3 Significado de cada factor

La dependencia es lineal en los tres factores cuando los demás permanecen fijos. Sin embargo, m y g deben ser no negativos en este modelo, mientras la altura relativa puede ser positiva, cero o negativa.

18.4 Unidades y análisis dimensional

La combinación masa por gravedad es el peso, medido en newtons. Multiplicar el peso por una diferencia de altura produce N·m, equivalente a joules.

18.5 La energía potencial por unidad de masa

Dividir U_g por la masa produce el potencial gravitatorio específico en el campo uniforme:

Su unidad es J/kg, equivalente a m²/s². Esta magnitud depende del campo y de la posición, no del objeto utilizado como prueba. Dos masas distintas en la misma altura tienen igual U/m, aunque sus energías totales sean diferentes.

18.6 El gráfico Ug en función de la altura

Para m y g constantes, U_g(y) es una recta:

Una masa mayor o una gravedad mayor hace la recta más inclinada. Cambiar la referencia traslada la recta verticalmente sin alterar su pendiente. La fuerza se recupera como F_y = −dU/dy = −mg.

18.7 Valores de g en distintos cuerpos celestes

En las proximidades de la superficie de cada astro puede usarse un valor local aproximado:

Estos valores se redondean y pueden variar ligeramente con la ubicación. Son adecuados para comparar órdenes de magnitud, no para cálculos geodésicos de alta precisión.

18.8 Ejemplo: elevar una carga

Una carga de 25 kg se eleva desde 1,5 m hasta 7 m en la Tierra:

La respuesta no necesita una referencia absoluta porque se calcula una diferencia. El trabajo de la gravedad es −1347,5 J. Si la elevación ocurre lentamente y sin pérdidas, un agente externo debe aportar +1347,5 J.

18.9 Ejemplo: descenso y liberación de energía

Una caja de 8 kg baja desde una plataforma de 12 m hasta otra de 4 m:

La disminución del potencial puede aparecer como energía cinética, transferirse a un freno o convertirse en otras formas. El signo negativo de ΔU no implica pérdida de energía total.

18.10 Trabajo externo en un movimiento controlado

Si un objeto se mueve lentamente entre dos alturas, su cambio de energía cinética es despreciable. Si además no hay pérdidas:

Al elevarlo, el agente aporta energía potencial. Al bajarlo de forma controlada, el agente realiza trabajo negativo y recibe o disipa la energía liberada. Si existe aceleración, W_ext ya no coincide necesariamente con ΔU.

18.11 Cuerpos extensos y centro de masa

Para un cuerpo rígido de tamaño pequeño dentro de un campo uniforme, la energía potencial gravitatoria total puede calcularse usando la altura de su centro de masa:

Al levantar un objeto también puede cambiar su orientación. Si la altura del centro de masa cambia, cambia U_g; si el centro de masa permanece a igual altura, la energía potencial gravitatoria total permanece igual en este modelo.

18.12 Sistemas de varias partículas

Para masas m_j situadas a alturas y_j, la energía potencial total es:

M es la masa total y y_CM la altura del centro de masa. La segunda igualdad permite reemplazar la suma por una sola expresión cuando g es uniforme para todo el sistema.

18.13 Aplicaciones prácticas

La energía real consumida por una máquina suele superar ΔU_g debido a pérdidas y eficiencia menor que 100 %.

18.14 Actividad interactiva: perfil gravitatorio uniforme

Explorá cómo masa, gravedad y referencia modifican la recta U_g(y). Los puntos inicial y final permiten comprobar ΔU_g = −W_g.

18.15 Calcular el potencial con JavaScript

function energiaPotencialGravitatoria({ masa, altura,
                                        referencia = 0, gravedad = 9.8 }) {
  if (masa < 0 || gravedad < 0) return null;
  return masa * gravedad * (altura - referencia);
}

function cambioDeAltura({ masa, alturaInicial, alturaFinal,
                          referencia = 0, gravedad = 9.8 }) {
  const potencialInicial = energiaPotencialGravitatoria({
    masa, altura: alturaInicial, referencia, gravedad
  });
  const potencialFinal = energiaPotencialGravitatoria({
    masa, altura: alturaFinal, referencia, gravedad
  });
  const cambioPotencial = potencialFinal - potencialInicial;

  return {
    potencialInicial,
    potencialFinal,
    cambioPotencial,
    trabajoGravedad: -cambioPotencial,
    potencialEspecificoFinal: potencialFinal / masa
  };
}

console.log(cambioDeAltura({
  masa: 5, alturaInicial: 2, alturaFinal: 8,
  referencia: 0, gravedad: 9.8
}));

La función mantiene explícitos la referencia y el valor de g. Esto permite reutilizarla en distintos contextos y comprobar que la referencia se cancela al calcular el cambio.

18.16 Despejes útiles

Partiendo de ΔU_g = mgΔy, pueden obtenerse distintas incógnitas:

Los signos deben conservarse. Un ΔU negativo corresponde a un desplazamiento vertical negativo cuando m y g son positivos. Los despejes requieren que los divisores sean distintos de cero.

18.17 Límites del campo uniforme

La forma mgy es una aproximación local. La gravedad real disminuye con la distancia al centro del astro y apunta radialmente. Para grandes variaciones de altura se utiliza:

Cerca de un radio R, desarrollar esta expresión para una pequeña altura y reproduce ΔU ≈ mgΔy con g = GM/R². La forma uniforme no debe extrapolarse a órbitas o distancias planetarias.

18.18 Procedimiento, comprobaciones y errores frecuentes

• No mezclar alturas medidas desde referencias diferentes.
• No confundir masa, peso y pendiente mg.
• No suponer que ΔU es la energía consumida real por una máquina.
• No usar la altura de un extremo cuando corresponde la del centro de masa.
• No sumar W_g y −ΔU_g como contribuciones independientes.

18.19 Ejercicios propuestos

1. Una caja de 12 kg se encuentra a 5 m sobre la referencia. Calcular U_g en la Tierra.
2. Una masa de 4 kg sube desde −2 m hasta 7 m. Calcular ΔU_g y W_g.
3. Comparar el cambio de potencial de una masa de 10 kg que asciende 3 m en la Tierra y en la Luna.
4. Una grúa aumenta la energía potencial de una carga en 58,8 kJ al elevarla 12 m. Calcular la masa.
5. Una barra uniforme de 6 kg y 2 m de longitud pasa de estar horizontal en el suelo a quedar vertical apoyada en un extremo. Calcular el cambio de energía potencial de su centro de masa.

18.20 Ideas para recordar

• En un campo uniforme, U_g = mg(y − y_ref).
• El cambio es ΔU_g = mg(y_f − y_i).
• La recta U(y) tiene pendiente mg y cruza cero en la referencia.
• Cambiar la referencia no modifica ΔU ni el trabajo gravitatorio.
• Para cuerpos extensos se utiliza la altura del centro de masa.
• La energía potencial por unidad de masa es g(y − y_ref).
• La expresión mgy es una aproximación local, no una fórmula orbital.

En el próximo tema combinaremos energía cinética y potencial para definir la energía mecánica.