20. Conservación de la energía mecánica

20.1 Qué significa conservar la energía mecánica

La energía mecánica de un sistema es E_m = K + U. Decir que se conserva significa que tiene el mismo valor en todos los estados del proceso estudiado:

La conservación no obliga a que K y U sean constantes por separado. En una caída, por ejemplo, U_g disminuye y K aumenta exactamente en la misma cantidad. Lo que permanece constante es la suma.

20.2 Condición física de conservación

Del balance W_nc = ΔE_m se deduce que la energía mecánica se conserva cuando el trabajo neto de las fuerzas no conservativas es cero:

La condición se refiere al trabajo, no simplemente a la presencia de una fuerza. También depende de cómo se haya definido el sistema.

20.3 Deducción desde el teorema trabajo–energía

La igualdad ΔK = −ΔU expresa la transformación interna: todo lo que pierde una forma lo gana la otra. Integrando esa igualdad entre dos estados se obtiene K_i + U_i = K_f + U_f.

20.4 La ecuación entre dos estados

Para gravedad uniforme y un resorte ideal, la forma más general que usaremos es:

Solo se incluyen las energías potenciales de interacciones presentes en el sistema. Los subíndices i y f designan estados, no necesariamente el comienzo y el final de toda la trayectoria. La ecuación puede aplicarse entre cualquier par de puntos mientras se cumplan sus condiciones.

20.5 Intercambio entre energía cinética y potencial

La energía mecánica constante no determina por sí sola la dirección del movimiento. En una misma altura puede haber un cuerpo subiendo y otro bajando con igual rapidez y, por tanto, con idénticas K, U y E_m.

20.6 La masa se cancela en movimientos gravitatorios

Si la única energía potencial es gravitatoria y no hay trabajo no conservativo:

Todos los términos contienen m. Para m > 0 se divide por la masa:

En este modelo, la rapidez asociada a un cambio de altura no depende de la masa. Dos objetos soltados desde la misma altura adquieren la misma rapidez si puede despreciarse la resistencia del aire.

20.7 Independencia del nivel cero

Si se reemplaza U por U + C, la misma constante aparece a ambos lados de la ecuación y se cancela. Por eso las predicciones no dependen del nivel elegido como U = 0, siempre que se use una única referencia durante todo el cálculo.

20.8 Ejemplo resuelto: caída desde el reposo

Una piedra se suelta desde 12 m. Se desprecia el aire y se pide la rapidez a 3 m de altura. Tomando y = 0 en el suelo:

El resultado es una rapidez. Si además se sabe que la piedra cae, la componente vertical de su velocidad es negativa para un eje positivo hacia arriba.

20.9 Ejemplo resuelto: lanzamiento vertical

Una pelota se lanza hacia arriba desde 1,5 m con rapidez de 14 m/s. En la altura máxima v_f = 0:

El signo de la velocidad no se coloca dentro de K: tanto al subir como al bajar K = ½mv². El sentido se determina con la descripción del movimiento.

20.10 Ejemplo resuelto: rampa sin rozamiento

Un carrito parte del reposo a 5 m sobre el punto más bajo y atraviesa una curva sin rozamiento. Su rapidez al llegar a una altura de 2 m es:

La forma de la rampa y la longitud recorrida no aparecen. La gravedad es conservativa, de modo que el resultado depende solo de los estados inicial y final. La trayectoria sí puede afectar el tiempo empleado y la fuerza normal.

20.11 Péndulo ideal

Una masa puntual suspendida de una cuerda inextensible de longitud L se suelta desde un ángulo θ₀ respecto de la vertical. La tensión es perpendicular al desplazamiento instantáneo y no realiza trabajo. Si el cero potencial está en el punto más bajo:

En un péndulo real, el aire y el rozamiento del soporte reducen gradualmente la energía mecánica; la amplitud deja de ser constante.

20.12 Sistema masa–resorte ideal

En una superficie horizontal sin rozamiento, la energía mecánica es:

En los extremos x = ±A, v = 0 y toda la energía es elástica: E_m = ½kA². En el equilibrio x = 0, la rapidez es máxima y toda la energía es cinética:

20.13 Varias energías potenciales

La conservación no se limita a intercambios entre dos términos. Un bloque unido a un resorte vertical puede transformar simultáneamente energía cinética, gravitatoria y elástica:

Hay que definir con claridad la deformación x respecto de la longitud natural del resorte y la coordenada y respecto del cero gravitatorio. No se debe confundir la posición de equilibrio del sistema con x = 0 del resorte.

20.14 Fuerzas presentes que no cambian la energía mecánica

Una fuerza puede estar presente y no aportar trabajo:

• La fuerza normal de una pista fija es perpendicular al desplazamiento local.
• La tensión de la cuerda de un péndulo ideal es radial y el desplazamiento es tangencial.
• Una fuerza magnética sobre una carga puntual es perpendicular a su velocidad.
• Una fuerza estática de vínculo puede no realizar trabajo si su punto de aplicación no se desplaza.

No conviene memorizar una lista: en cada problema debe evaluarse el producto escalar fuerza–desplazamiento y el sistema elegido.

20.15 Cuándo no debe imponerse la conservación

20.16 Actividad interactiva: pista sin rozamiento

Elegí el estado inicial y una altura de consulta. El laboratorio calcula la rapidez compatible con la conservación y muestra cómo cambia el reparto entre K y U_g. Si la energía disponible no alcanza, señala una región inaccesible.

20.17 Implementar la conservación con JavaScript

function estadoConservado({ masa, gravedad = 9.8,
                            alturaInicial, rapidezInicial,
                            alturaFinal }) {
  if (masa <= 0 || gravedad <= 0 || rapidezInicial < 0) return null;

  const rapidezFinalCuadrado = rapidezInicial ** 2
    + 2 * gravedad * (alturaInicial - alturaFinal);

  if (rapidezFinalCuadrado < -1e-10) {
    return {
      accesible: false,
      alturaMaxima: alturaInicial
        + rapidezInicial ** 2 / (2 * gravedad)
    };
  }

  const rapidezFinal = Math.sqrt(Math.max(0, rapidezFinalCuadrado));
  const energiaMecanica = 0.5 * masa * rapidezInicial ** 2
    + masa * gravedad * alturaInicial;

  return { accesible: true, rapidezFinal, energiaMecanica };
}

console.log(estadoConservado({
  masa: 2, gravedad: 9.8,
  alturaInicial: 8, rapidezInicial: 2,
  alturaFinal: 3
}));

La tolerancia evita clasificar como inaccesible un valor apenas negativo producido por redondeo. La función devuelve explícitamente ambos casos para que el programa no intente calcular la raíz cuadrada de un número negativo.

20.18 Procedimiento de resolución

1. Definir el sistema y los dos estados que se compararán.
2. Identificar todas las fuerzas y decidir cuáles son conservativas.
3. Comprobar que el trabajo no conservativo sea cero.
4. Elegir referencias convenientes para cada energía potencial.
5. Escribir K_i + U_i = K_f + U_f antes de reemplazar valores.
6. Anular términos conocidos: reposo, nivel cero o resorte sin deformar.
7. Despejar, conservar unidades y comprobar que el estado sea físicamente accesible.

20.19 Comprobaciones físicas y numéricas

20.20 Errores frecuentes

• Aplicar conservación aunque haya rozamiento: en ese caso debe incluirse su trabajo o la energía térmica.
• Conservar K y U por separado: normalmente cambian; se conserva su suma.
• Usar velocidad con signo dentro de K: la energía cinética depende de v².
• Omitir una energía potencial: por ejemplo, considerar gravedad y olvidar un resorte.
• Sumar también el trabajo gravitatorio: si se usa U_g, agregar W_g cuenta dos veces la misma interacción.
• Mezclar niveles de referencia: ambos estados deben usar el mismo cero.
• Aceptar una raíz de número negativo: señala que el estado solicitado no puede alcanzarse con la energía disponible.
• Confundir rapidez con dirección: la conservación proporciona el módulo; el contexto determina el sentido.

20.21 Ejercicios propuestos

1. Un objeto se suelta desde 20 m. Calcular su rapidez a 5 m y al llegar al suelo, sin resistencia del aire.
2. Una pelota se lanza verticalmente desde el suelo a 18 m/s. Hallar su altura máxima.
3. Un carrito pasa por el punto más bajo con 12 m/s. ¿Cuál es la altura máxima que puede alcanzar en una pista sin rozamiento?
4. Un péndulo de 1,2 m se suelta desde 60° respecto de la vertical. Calcular la rapidez en el punto más bajo.
5. Un bloque de 0,5 kg comprime 0,20 m un resorte de 200 N/m sobre una mesa sin rozamiento. Calcular la rapidez al pasar por la posición natural.
6. Un cuerpo parte a 4 m de altura con 3 m/s. ¿Puede alcanzar 5 m sin aporte externo? Si puede, calcular su rapidez allí.

20.22 Ideas para recordar

• La energía mecánica se conserva si el trabajo no conservativo neto es cero.
• Conservar significa K + U = constante, no K y U constantes por separado.
• La ecuación conecta estados y no requiere conocer la trayectoria ni el tiempo.
• Las fuerzas de vínculo pueden estar presentes sin realizar trabajo.
• En gravedad uniforme sin pérdidas, v_f² = v_i² + 2g(y_i − y_f).
• Una energía cinética negativa indica que el estado propuesto es inaccesible.
• Si hay rozamiento o aportes externos, se usa un balance de energía mecánica más general.

En el próximo tema aplicaremos sistemáticamente esta conservación para resolver movimientos, alturas y velocidades.