21. Resolver movimientos, alturas y velocidades mediante conservación de la energía

21.1 Resolver estados, no reconstruir cada instante

El enfoque energético reemplaza la descripción paso a paso por una comparación entre un estado conocido y otro que contiene la incógnita. Si la energía mecánica se conserva:

Esta ecuación es especialmente eficaz cuando se pide una rapidez asociada a una posición, una altura máxima o una deformación extrema. No proporciona directamente el tiempo, la dirección de la velocidad ni las fuerzas de vínculo.

21.2 Un método sistemático

Conviene escribir primero la ecuación simbólica. Reemplazar números demasiado pronto oculta cancelaciones, mezcla unidades y hace más difícil detectar signos incorrectos.

21.3 Elegir estados convenientes

Una buena elección reduce la cantidad de términos:

Estas elecciones simplifican la cuenta, pero no cambian la física. El cero de energía potencial es arbitrario; el estado de reposo o la deformación del resorte son hechos del problema.

21.4 Despejar la rapidez en un campo gravitatorio

Para un cuerpo sometido solo a gravedad uniforme:

La masa se cancela y se obtiene:

Se toma la raíz positiva porque v representa rapidez. La dirección debe deducirse del movimiento: al caer, por ejemplo, la componente vertical es negativa si el eje y apunta hacia arriba.

21.5 Despejar una altura

La misma igualdad puede resolverse para y_f:

Esta forma permite hallar la altura a la cual el móvil posee una rapidez determinada. La diferencia de cuadrados indica que una rapidez final menor corresponde a una altura mayor, siempre dentro de la región accesible.

21.6 Puntos de retorno y altura máxima

En un punto de retorno unidimensional, la velocidad se anula momentáneamente antes de cambiar de sentido. Para un ascenso gravitatorio:

La condición v = 0 identifica una frontera energética, pero no siempre un equilibrio. En la altura máxima de un lanzamiento vertical, la aceleración continúa siendo −g y el cuerpo comienza a descender.

21.7 Calcular la rapidez inicial necesaria

Si se conoce el estado deseado, puede diseñarse el estado de partida:

Para llegar justo hasta y_f, se establece v_f = 0. El valor calculado es la rapidez inicial mínima en un modelo sin pérdidas. En un sistema real hará falta una rapidez mayor para compensar disipación.

21.8 Ejemplo: rapidez durante una caída

Un objeto se suelta desde 18 m y se pide su rapidez a 6 m, despreciando el aire:

La masa no fue necesaria. La pérdida de 12 m de altura determina el aumento de energía cinética por unidad de masa.

21.9 Ejemplo: rapidez de lanzamiento requerida

Desde una terraza a 8 m se quiere lanzar verticalmente una pelota para que llegue justo a 20 m. La rapidez mínima es:

En el punto superior v = 0. El resultado ideal no contempla la resistencia del aire ni un margen de seguridad.

21.10 Ejemplo: montaña rusa ideal

Un carrito pasa a 4 m/s por una cima situada a 14 m y luego llega a otra cima de 9 m. Sin rozamiento:

La forma y longitud del tramo no aparecen en la ecuación energética. Sin embargo, la curvatura sí importa para calcular la normal y comprobar que el carrito permanezca en contacto con la vía.

21.11 Movimiento en dos dimensiones

En un tiro parabólico sin aire, la energía permite relacionar la rapidez total con la altura:

No separa las componentes v_x y v_y ni determina el ángulo de la velocidad. Para obtenerlas se combina con información cinemática, como v_x constante, o con la geometría del problema.

21.12 Péndulo: rapidez en cualquier ángulo

Para un péndulo de longitud L soltado desde θ₀, la altura respecto del punto más bajo es y = L(1 − cos θ). En un ángulo θ:

El radicando debe ser no negativo. Si |θ| supera el ángulo de liberación y no hubo impulso adicional, ese estado no es accesible.

21.13 Resorte horizontal: posición y rapidez

Para una masa unida a un resorte ideal sobre una superficie sin rozamiento:

Si A es la amplitud:

Solo son posibles posiciones con |x| ≤ A. En x = 0 la rapidez es máxima; en x = ±A se anula y el móvil invierte el sentido.

21.14 Lanzador de resorte

Un resorte de 300 N/m comprimido 0,15 m impulsa un bloque de 0,75 kg sobre una mesa horizontal ideal. Al abandonar el resorte en x = 0:

Si después el bloque asciende por una rampa sin rozamiento, esa energía cinética puede convertirse en gravitatoria dentro de un único balance entre el estado comprimido y la altura máxima.

21.15 Gravedad y resorte en un mismo problema

Cuando cambian simultáneamente altura y deformación:

No debe cancelarse la masa de toda la ecuación porque el término elástico no contiene m. La posición de equilibrio de un resorte vertical puede simplificar el análisis, pero la deformación x siempre se mide desde la longitud natural.

21.16 Regiones accesibles

Como K ≥ 0, para una energía mecánica E_m constante debe cumplirse:

La coordenada q puede ser una altura, una posición horizontal o un ángulo. Los puntos donde U(q) = E_m tienen K = 0 y suelen ser puntos de retorno. Si U(q) > E_m, la expresión para la rapidez produce un radicando negativo: no es un error algebraico, sino una prohibición física dentro del modelo.

21.17 Actividad interactiva: mapa rapidez–altura

Modificá el estado inicial y consultá cualquier altura. La curva representa todas las combinaciones de rapidez y altura compatibles con la misma energía mecánica.

21.18 Programar un solucionador con JavaScript

function resolverMovimientoVertical({
  alturaInicial, rapidezInicial, alturaObjetivo, gravedad = 9.8
}) {
  if (gravedad <= 0 || rapidezInicial < 0) return null;

  const alturaMaxima = alturaInicial
    + rapidezInicial ** 2 / (2 * gravedad);
  const rapidezCuadrado = rapidezInicial ** 2
    + 2 * gravedad * (alturaInicial - alturaObjetivo);

  if (rapidezCuadrado < -1e-10) {
    return { accesible: false, alturaMaxima };
  }

  return {
    accesible: true,
    alturaMaxima,
    rapidez: Math.sqrt(Math.max(0, rapidezCuadrado))
  };
}

console.log(resolverMovimientoVertical({
  alturaInicial: 10,
  rapidezInicial: 6,
  alturaObjetivo: 4
}));

El objeto de salida distingue un estado accesible de uno imposible. La función devuelve rapidez, no velocidad vectorial; podrían existir dos instantes con esa misma rapidez, uno durante el ascenso y otro durante el descenso.

21.19 Combinar energía con otras herramientas

La energía suele proporcionar primero la rapidez necesaria para usarla después en una ecuación dinámica o geométrica.

21.20 Comprobaciones y errores frecuentes

• No anular toda la rapidez en la cima de un proyectil oblicuo.
• No elegir automáticamente la raíz negativa: la energía calcula rapidez.
• No cancelar m si hay términos elásticos que no contienen esa masa.
• No forzar un resultado real cuando U > E_m.
• No esperar que el método energético determine el tiempo sin información adicional.

21.21 Ejercicios propuestos

1. Una piedra parte del reposo a 25 m. Hallar su rapidez a 10 m y justo antes de llegar al suelo.
2. Una pelota se lanza verticalmente desde 2 m con 12 m/s. Calcular su altura máxima y su rapidez al volver a 2 m.
3. Un carrito posee 5 m/s a 3 m de altura. ¿Qué rapidez tendrá a 8 m? Decidir primero si el estado es accesible.
4. Un péndulo de 0,80 m se suelta desde 45°. Calcular su rapidez en el punto más bajo.
5. Una masa de 2 kg unida a un resorte de 50 N/m oscila con amplitud de 0,30 m. Hallar la rapidez máxima y la rapidez en x = 0,18 m.
6. Un bloque de 1 kg parte del reposo impulsado por un resorte de 400 N/m comprimido 0,10 m y luego sube por una rampa ideal. Hallar la altura máxima.

21.22 Ideas para recordar

• La conservación relaciona estados y evita reconstruir toda la trayectoria.
• Elegir estados con términos nulos simplifica el cálculo.
• La energía entrega rapidez; el sentido requiere información adicional.
• Un punto de retorno cumple K = 0, pero no necesariamente es un equilibrio.
• En varias dimensiones, la energía determina el módulo de la velocidad, no sus componentes.
• La condición U ≤ E_m identifica las regiones accesibles.
• Cuando actúan fuerzas no conservativas debe ampliarse el balance.

En el próximo tema incorporaremos las fuerzas no conservativas y la variación de la energía mecánica.