25. Diagramas de energía, regiones permitidas y puntos de retorno

Un gráfico de energía potencial permite anticipar dónde puede moverse un sistema, dónde se detiene, qué rapidez posee y qué equilibrios son estables, sin resolver primero la ecuación temporal del movimiento.

25.1 El paisaje de energía potencial

En un movimiento unidimensional gobernado por una fuerza conservativa, la energía potencial U(x) asigna un valor energético a cada posición. Su gráfico funciona como un paisaje: valles, pendientes y cimas resumen información sobre la fuerza y el movimiento posible.

Em = K(x) + U(x)

Si Em se conserva, se representa mediante una línea horizontal. La separación vertical entre esa línea y U(x) es la energía cinética.

25.2 Cómo leer el diagrama

Curva U(x)Describe la energía potencial asociada a cada posición.
Separación E − UEs K(x) y determina el módulo de la velocidad.
Intersección E = UIndica K = 0 y un posible punto de retorno.

El gráfico no es necesariamente la forma geométrica de una pista. Sus ejes son posición y energía, no coordenadas espaciales vertical y horizontal.

25.3 Energía cinética como diferencia vertical

En cualquier posición accesible:

K(x) = Em − U(x)

Para una partícula de masa m:

v(x) = √{2[Em − U(x)]/m}

Una separación mayor implica mayor rapidez. La fórmula entrega rapidez; no indica si la partícula se desplaza hacia +x o hacia −x.

25.4 Regiones clásicamente permitidas

La energía cinética clásica no puede ser negativa. Por lo tanto:

U(x) ≤ Em

Las posiciones que cumplen la desigualdad forman las regiones permitidas. Donde U(x) > Em, la expresión para v contiene una raíz de número negativo y el sistema no puede encontrarse dentro del modelo clásico.

25.5 Puntos de retorno

En una intersección U(xr) = Em se cumple v = 0. Si la fuerza no es nula, la partícula se detiene instantáneamente y regresa a la región permitida.

U(xr) = Em,   K = 0,   v = 0

No toda intersección implica retorno: si también F = 0 y el sistema está exactamente en equilibrio, puede permanecer allí. El comportamiento requiere examinar la pendiente local.

25.6 Obtener la fuerza desde U(x)

La fuerza conservativa es el negativo de la pendiente:

Fx(x) = −dU/dx
U crece con xdU/dx > 0 ⇒ Fx < 0
U decrece con xdU/dx < 0 ⇒ Fx > 0
Pendiente nulaFx = 0
Curva empinadaMayor módulo de fuerza

La fuerza apunta “cuesta abajo” en el paisaje potencial, aunque el gráfico no represente una pendiente física real.

25.7 Equilibrio estable, inestable y neutro

Mínimo de UEquilibrio estable: una perturbación pequeña genera una fuerza restauradora.
Máximo de UEquilibrio inestable: una perturbación aleja al sistema.
U constanteEquilibrio neutro: no aparece fuerza para desplazamientos pequeños.

En un punto estacionario xe, dU/dx = 0. Si además U″(xe) > 0 es un mínimo local; si U″(xe) < 0 es un máximo local.

25.8 Oscilador armónico

Para un resorte ideal:

U(x) = ½kx²

La parábola tiene un mínimo estable en x = 0. Para energía E, los puntos de retorno son:

x = ±A,   A = √(2E/k)

La partícula queda confinada entre −A y +A. Es más rápida en el centro, donde U es mínima, y se detiene en los extremos.

25.9 Potencial gravitatorio uniforme

Si x representa altura:

U(x) = mgx

La gráfica es una recta de pendiente mg y la fuerza es constante: F = −mg. Para una energía dada existe una altura máxima xmáx = E/(mg), pero el movimiento hacia alturas menores no está limitado por este modelo si el dominio se extiende indefinidamente.

25.10 Doble pozo y regiones desconectadas

Un modelo ilustrativo es:

U(x) = a(x² − b²)²

Tiene mínimos en x = ±b y una barrera central U(0) = ab⁴. Si E está por debajo de la barrera, hay dos regiones permitidas separadas: una partícula clásica queda atrapada en el pozo donde comenzó. Si E supera la barrera, puede pasar de un pozo al otro.

25.11 Barreras de potencial

Una barrera es una región donde U alcanza un máximo local. Comparar E con su altura permite predecir:

  • Si E < Ubarrera, la partícula no cruza y retorna.
  • Si E = Ubarrera, puede alcanzar la cima con rapidez nula en un caso ideal.
  • Si E > Ubarrera, cruza con K = E − Ubarrera.

En la cima exacta de una barrera inestable, cualquier perturbación decide hacia qué lado evoluciona el sistema.

25.12 Pozos ligados y movimiento no ligado

Un movimiento está ligado si queda restringido a una región finita entre puntos de retorno. Es no ligado si puede alejarse indefinidamente dentro del dominio.

La clasificación depende del comportamiento de U(x) lejos de la región inicial y del valor de E. Un mismo potencial puede admitir estados ligados para energías bajas y no ligados para energías altas.

25.13 La dirección no aparece en el diagrama

En una posición interior de una región permitida suelen existir dos velocidades compatibles:

v = ±√{2[E − U(x)]/m}

El signo se obtiene de la condición inicial y de la continuidad. Cuando la partícula alcanza un punto de retorno, cambia de una rama de signo a la otra.

25.14 Cambiar el cero de potencial

Sumar una constante C a U desplaza verticalmente tanto la curva como el valor numérico de E. La diferencia E − U, las regiones permitidas, los puntos de retorno y las velocidades no cambian.

La física está en las diferencias y pendientes de energía, no en el valor absoluto elegido para U = 0.

25.15 Efecto de fuerzas no conservativas

Si actúa rozamiento, Em deja de ser una línea horizontal fija a lo largo del proceso. Su valor disminuye según Wnc = ΔEm. En un oscilador amortiguado, los puntos de retorno se acercan gradualmente al mínimo y la amplitud disminuye.

El diagrama U(x) sigue describiendo la fuerza conservativa, pero debe acompañarse con la evolución de Em.

25.16 Límites de la representación

Un diagrama unidimensional no muestra el tiempo, la dirección de la velocidad ni fuerzas no conservativas. En varias dimensiones, U depende de varias coordenadas y el paisaje se convierte en una superficie o hipersuperficie.

“Región clásicamente prohibida” se refiere al modelo clásico. En mecánica cuántica puede existir penetración a través de barreras, fenómeno fuera del alcance de este curso.

25.17 Actividad interactiva: explorar paisajes potenciales

Elegí un potencial, la energía total y una posición. El gráfico sombrea las regiones permitidas, marca puntos de retorno y calcula la rapidez cuando el estado es accesible.

Laboratorio de diagramas de energía

La distancia vertical E − U es la energía cinética disponible.

Posición x (m) Energía (J) E = 20 J U(x) Curva de energía potencial, línea de energía total, regiones permitidas y puntos de retorno.
Verde: U(x); azul: E; violeta: K disponible; naranja: puntos de retorno.
U + K U = 0 J K = 20 J E = 20 J x = 2 m Barra apilada de energía potencial y cinética en la posición seleccionada.
Si U supera E, no existe una barra cinética física que complete el total.
Energía potencial0 J
Energía cinética20 J
Rapidez6,32 m/s
Regiones permitidas2
Estado permitido: E − U = 20 J. El movimiento está confinado en uno de dos pozos.

25.18 Construir el diagrama con JavaScript

function analizarPosicion({ energia, masa, posicion, potencial }) {
  const energiaPotencial = potencial(posicion);
  const energiaCinetica = energia - energiaPotencial;

  if (energiaCinetica < -1e-10) {
    return { permitida: false, energiaPotencial };
  }

  return {
    permitida: true,
    energiaPotencial,
    energiaCinetica: Math.max(0, energiaCinetica),
    rapidez: Math.sqrt(2 * Math.max(0, energiaCinetica) / masa),
    puntoDeRetorno: Math.abs(energiaCinetica) < 1e-10
  };
}

const doblePozo = (x, a = 2, b = 2) => a * (x ** 2 - b ** 2) ** 2;
console.log(analizarPosicion({
  energia: 20, masa: 1, posicion: 2,
  potencial: x => doblePozo(x)
}));

Para dibujar regiones y retornos, el laboratorio muestrea el intervalo, detecta cambios de signo de U(x) − E y aproxima cada intersección por bisección. La resolución depende del paso de muestreo y de la tolerancia elegida.

25.19 Procedimiento para analizar un potencial

  1. Dibujar o evaluar U(x) en el dominio físico.
  2. Trazar la línea horizontal correspondiente a Em.
  3. Marcar las zonas donde U(x) ≤ Em.
  4. Resolver U(x) = Em para hallar puntos de retorno.
  5. Usar K = Em − U y v = √(2K/m) en posiciones concretas.
  6. Examinar pendientes y extremos de U para inferir fuerza y estabilidad.
  7. Incorporar por separado cualquier variación no conservativa de Em.

25.20 Comprobaciones y errores frecuentes

EjesNo confundir U(x) con una trayectoria espacial.
PermitidaVerificar siempre E − U ≥ 0.
RapidezLa separación vertical representa K, no v directamente.
FuerzaSu signo es opuesto al de la pendiente de U.
Retornov = 0 no implica necesariamente equilibrio.
ReferenciaDesplazar U y E juntos no cambia el movimiento.
  • Creer que una curva más alta representa una posición física más alta.
  • Asignar movimiento a una región donde U > E.
  • Confundir un máximo de U con equilibrio estable.
  • Intentar obtener la dirección solo a partir de E − U.
  • Mantener fija la línea de E cuando actúa rozamiento.

25.21 Ejercicios propuestos

  1. Para U = 2x² J y E = 18 J, hallar los puntos de retorno y la rapidez en x = 0 para m = 1 kg.
  2. Para U = 5x J y E = 40 J, determinar la posición máxima y K en x = 3 m.
  3. Una partícula de 2 kg está donde U = 12 J con E = 48 J. Calcular su rapidez.
  4. En un potencial con barrera de 30 J, decidir si partículas de 20 J, 30 J y 45 J pueden cruzarla clásicamente.
  5. Para U = 4(x² − 1)² J, hallar la altura de la barrera central y clasificar los equilibrios x = −1, 0 y 1.
  6. Un oscilador con k = 80 N/m tiene E = 10 J. Hallar amplitud y rapidez máxima si m = 0,5 kg.
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  1. 2x² = 18 ⇒ x = ±3 m. En x = 0, v = √(2·18/1) = 6 m/s.
  2. xmáx = 40/5 = 8 m; K(3) = 40 − 15 = 25 J.
  3. K = 48 − 12 = 36 J; v = √(2·36/2) = 6 m/s.
  4. 20 J: no cruza. 30 J: llega idealmente a la cima con v = 0. 45 J: cruza.
  5. U(0) = 4 J. x = ±1 son mínimos estables; x = 0 es un máximo inestable.
  6. A = √(2·10/80) = 0,5 m; vmáx = √(2·10/0,5) = 6,32 m/s.

25.22 Ideas para recordar

  • La curva U(x) y la línea E resumen el movimiento conservativo unidimensional.
  • K = E − U es la separación vertical entre ambas.
  • Las regiones permitidas cumplen U ≤ E.
  • Los puntos de retorno suelen satisfacer U = E y v = 0.
  • La fuerza es F = −dU/dx y apunta hacia potencial decreciente.
  • Los mínimos de U son equilibrios estables; los máximos son inestables.
  • El diagrama determina rapidez, pero no dirección ni tiempo.

En el próximo tema estudiaremos la rapidez de las transferencias mediante la potencia media e instantánea.