3. Trabajo de una fuerza constante: definición, unidad y significado físico

Una fuerza realiza trabajo cuando actúa durante un desplazamiento. El producto escalar permite medir qué parte de esa fuerza transfiere energía en la dirección del movimiento.

3.1 De una fuerza a una transferencia de energía

En dinámica estudiamos que una fuerza representa una interacción y puede modificar el movimiento. Ahora queremos medir cuánta energía transfiere esa fuerza mientras su punto de aplicación se desplaza. La magnitud que describe esa transferencia es el trabajo mecánico.

Empujar una caja a lo largo del piso puede aumentar su energía cinética. Levantar una mochila puede aumentar la energía potencial gravitatoria del sistema mochila-Tierra. Al frenar una bicicleta, el rozamiento transforma energía cinética principalmente en energía interna. En cada caso intervienen fuerzas, desplazamientos y transferencias energéticas.

En física, “realizar trabajo” no significa simplemente hacer esfuerzo: una fuerza debe actuar durante un desplazamiento y tener una componente en su dirección.

3.2 Definición para una fuerza constante

Si una fuerza permanece constante mientras su punto de aplicación experimenta un desplazamiento, definimos el trabajo de esa fuerza mediante el producto escalar:

WF = F · Δr = F · d · cos(θ)

Los símbolos representan:

  • WF: trabajo realizado por la fuerza considerada;
  • F: módulo de la fuerza constante;
  • d = |Δr|: módulo del desplazamiento del punto donde se aplica;
  • θ: ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.

El subíndice recuerda qué fuerza estamos analizando. Sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas y cada una realiza su propio trabajo. El trabajo conjunto se estudiará más adelante.

3.3 Fuerza y desplazamiento son vectores; el trabajo es escalar

La fuerza y el desplazamiento poseen módulo, dirección y sentido. Su producto escalar, en cambio, produce un número. Por eso el trabajo es una magnitud escalar: no tiene dirección ni se representa con una flecha.

Un escalar puede ser positivo, negativo o nulo. El signo del trabajo no indica una dirección espacial. Indica cómo se orienta la fuerza respecto del desplazamiento y qué tipo de transferencia energética produce.

También podemos calcular el producto escalar a partir de componentes cartesianas:

WF = FxΔx + FyΔy

Esta expresión es equivalente a F·d·cos(θ). En tres dimensiones se agrega el término FzΔz. En el tema siguiente profundizaremos la dependencia angular y la descomposición de la fuerza.

3.4 Tres orientaciones fundamentales

Antes de estudiar ángulos generales, conviene reconocer tres casos básicos:

Mismo sentido
F →   d →
cos(0°) = 1
W = F·d > 0
Sentidos opuestos
F ←   d →
cos(180°) = −1
W = −F·d < 0
Perpendiculares
F ↑   d →
cos(90°) = 0
W = 0

Una fuerza paralela y con el mismo sentido que el desplazamiento realiza trabajo positivo. Si se opone, realiza trabajo negativo. Si es perpendicular, no realiza trabajo durante ese desplazamiento aunque su módulo sea grande.

3.5 Interpretar el signo del trabajo

  • Trabajo positivo: la fuerza transfiere energía hacia el sistema elegido o favorece el aumento de energía cinética del objeto cuando se analiza su efecto aislado.
  • Trabajo negativo: la fuerza transfiere energía desde el sistema o se opone al movimiento, según la frontera y el modelo utilizados.
  • Trabajo nulo: esa fuerza no transfiere energía mediante trabajo durante el desplazamiento considerado.

El signo no permite afirmar por sí solo que el objeto acelera o frena, porque pueden actuar otras fuerzas. Una fuerza puede realizar trabajo positivo mientras otra realiza uno negativo. Para conocer el cambio de energía cinética habrá que considerar el trabajo de la fuerza resultante, tema que abordaremos más adelante.

Tampoco debe confundirse trabajo negativo con “trabajo mal hecho”. Es una descripción matemática y física, no una valoración.

3.6 La unidad de trabajo

En el Sistema Internacional, la fuerza se mide en newtons y el desplazamiento en metros. Por eso la unidad de trabajo es el newton metro, que recibe el nombre de joule:

1 J = 1 N·m = 1 kg·m²/s²

El coseno no aporta unidades porque es una razón entre longitudes y, por lo tanto, es adimensional. El análisis dimensional de la fórmula queda:

[W] = [F]·[d] = (kg·m/s²)·m = kg·m²/s²

El trabajo y la energía se miden en joules porque el trabajo cuantifica una transferencia de energía. Sin embargo, no son conceptos idénticos: el trabajo describe un proceso; la energía describe el estado del sistema.

3.7 Importa el desplazamiento, no la distancia recorrida

La definición utiliza el vector desplazamiento Δr, que conecta la posición inicial con la final. No utiliza automáticamente la longitud total de la trayectoria. Para una fuerza verdaderamente constante en módulo, dirección y sentido, el trabajo depende del desplazamiento neto.

Si una persona empuja un carrito tres metros hacia la derecha y luego lo devuelve tres metros mientras mantiene exactamente la misma fuerza hacia la derecha, el desplazamiento total es cero y el trabajo de esa fuerza constante sobre el recorrido completo también es cero. En el tramo de ida es positivo y en el de vuelta es negativo.

Cuando la fuerza cambia con la posición o con la dirección del recorrido, ya no podemos reemplazar todo el proceso por una única fuerza constante. Dividiremos la trayectoria en pequeños desplazamientos, procedimiento que se desarrollará en los temas 6 a 8.

3.8 El desplazamiento debe corresponder al punto de aplicación

El trabajo de una fuerza se calcula con el desplazamiento del punto donde esa fuerza actúa. En el modelo de una partícula todos los puntos del cuerpo se representan mediante una sola posición, por lo que esta distinción suele pasar inadvertida.

Para cuerpos extensos, distintos puntos pueden moverse de manera diferente. Aquí trabajaremos con traslaciones en las que el cuerpo puede modelarse como partícula y el desplazamiento está claramente definido.

No alcanza con que el objeto “se mueva”: debemos identificar qué fuerza analizamos y cuál es el desplazamiento de su punto de aplicación.

3.9 ¿Cuándo una fuerza puede realizar trabajo nulo?

De la definición surgen varios casos:

  • la fuerza es nula;
  • no existe desplazamiento durante el intervalo;
  • la fuerza es perpendicular al desplazamiento;
  • los trabajos positivos y negativos de distintos tramos se cancelan.

Sostener quieta una mochila puede resultar cansador, pero el trabajo mecánico de la fuerza ejercida sobre la mochila es cero porque su desplazamiento es cero. El cuerpo humano utiliza y transforma energía internamente, pero ese fenómeno no debe confundirse con el trabajo mecánico realizado sobre la mochila.

Otro ejemplo es la fuerza normal sobre una caja que se desplaza horizontalmente por una mesa plana: como la normal es vertical, resulta perpendicular al desplazamiento y su trabajo es nulo.

3.10 Ejemplos resueltos

Ejemplo A: empuje en el sentido del movimiento

Una persona ejerce una fuerza horizontal constante de 80 N sobre una caja que se desplaza 5 m en el mismo sentido.

W = F·d·cos(0°) = 80 N · 5 m · 1 = 400 J

El trabajo de la fuerza ejercida por la persona es positivo y transfiere 400 J hacia la caja.

Ejemplo B: fuerza opuesta al desplazamiento

Una fuerza de rozamiento constante de 30 N se opone a un desplazamiento de 5 m.

Wroz = 30 N · 5 m · cos(180°) = −150 J

El trabajo del rozamiento sobre la caja es negativo. Esto no significa que la energía desaparezca: al ampliar el sistema para incluir las superficies, podremos describir el aumento de energía interna.

Ejemplo C: sostener sin desplazar

Una persona sostiene una caja con una fuerza vertical de 120 N durante diez segundos, pero la caja permanece quieta.

d = 0 m   ⇒   W = 120 N · 0 m = 0 J

El tiempo transcurrido no reemplaza al desplazamiento en la fórmula del trabajo.

3.11 Actividad interactiva: fuerza, desplazamiento y trabajo

Modificá el módulo de la fuerza, el desplazamiento y su orientación relativa. El laboratorio representa una fuerza constante y calcula solamente el trabajo de esa fuerza.

Laboratorio de trabajo constante

Las flechas indican fuerza en rojo y desplazamiento en azul.

Producto F·d200 N·m
Factor angularcos(0°) = 1
Trabajo200 J
Trabajo positivo: la fuerza favorece el desplazamiento.

Probá duplicar solo la fuerza y luego solo el desplazamiento. En ambos casos se duplica el valor absoluto del trabajo. Después elegí la orientación perpendicular: aunque fuerza y desplazamiento sean distintos de cero, el trabajo resulta nulo.

3.12 Calcular trabajo con JavaScript

En un programa conviene indicar las unidades en los nombres de las variables y convertir los grados a radianes antes de usar Math.cos:

function trabajoConstante(fuerzaN, desplazamientoM, anguloGrados) {
  const anguloRadianes = anguloGrados * Math.PI / 180;
  return fuerzaN * desplazamientoM * Math.cos(anguloRadianes);
}

const trabajoEmpujeJ = trabajoConstante(80, 5, 0);
const trabajoRozamientoJ = trabajoConstante(30, 5, 180);
const trabajoNormalJ = trabajoConstante(120, 5, 90);

console.log("Empuje:", trabajoEmpujeJ.toFixed(2), "J");
console.log("Rozamiento:", trabajoRozamientoJ.toFixed(2), "J");
console.log("Normal:", trabajoNormalJ.toFixed(2), "J");

Por las aproximaciones de punto flotante, Math.cos(Math.PI / 2) puede producir un número muy pequeño en lugar de cero exacto. Si necesitamos decidir si el trabajo es nulo, usamos una tolerancia:

const trabajoNormalJ = 120 * 5 * Math.cos(90 * Math.PI / 180);
const toleranciaJ = 1e-9;
const esTrabajoNulo = Math.abs(trabajoNormalJ) < toleranciaJ;

console.log("¿El trabajo de la normal es nulo?", esTrabajoNulo);

3.13 Método de resolución

Para calcular el trabajo de una fuerza constante de manera ordenada:

Elegir el sistema, la fuerza específica y el intervalo.
Comprobar que la fuerza permanece constante durante el desplazamiento.
Determinar el desplazamiento del punto de aplicación.
Identificar el ángulo entre fuerza y desplazamiento.
Aplicar W = F·d·cos(θ) con unidades del SI.
Interpretar el signo y revisar orden de magnitud y unidades.

Un dibujo de las flechas ayuda a evitar errores de signo. No conviene asignarlo de memoria: surge del ángulo entre los vectores.

3.14 Alcance del modelo de fuerza constante

La fórmula W = F·d·cos(θ) aplicada como un único producto supone que la fuerza mantiene su módulo y orientación durante todo el desplazamiento. Es adecuada para un empuje uniforme en línea recta, un rozamiento cinético aproximadamente constante sobre una superficie homogénea o el peso cerca de la superficie terrestre en recorridos pequeños.

Si la fuerza cambia, podemos aproximar el recorrido mediante tramos suficientemente pequeños y sumar los trabajos. El área bajo un gráfico fuerza-posición y la suma numérica de esos tramos se estudiarán en los temas 7 y 8.

También debemos declarar otros supuestos: cuerpo modelado como partícula, sistema de referencia elegido, desplazamiento medido correctamente y efectos despreciados. Una fórmula correcta aplicada fuera de sus condiciones produce un resultado incorrecto.

3.15 Errores frecuentes

  • Usar fuerza por tiempo: el trabajo depende del desplazamiento, no directamente de la duración.
  • Multiplicar siempre F·d: falta considerar la orientación relativa mediante el producto escalar.
  • Usar distancia recorrida sin revisar: la definición vectorial utiliza el desplazamiento del punto de aplicación.
  • Creer que toda fuerza realiza trabajo: puede haber fuerza sin desplazamiento o una orientación perpendicular.
  • Asignar una dirección al trabajo: es un escalar; su signo no es una flecha.
  • Interpretar trabajo negativo como energía destruida: la energía debe aparecer en otro almacenamiento o transferencia del balance completo.
  • Sumar trabajos antes de identificar cada fuerza: en este tema calculamos el trabajo de una fuerza específica.
  • Usar grados directamente en Math.cos: JavaScript espera radianes.
  • Confundir N·m con N/m: el joule equivale a newton por metro multiplicado, no dividido.

3.16 Ejercicios propuestos

  1. Una fuerza horizontal constante de 25 N desplaza una caja 8 m en el mismo sentido. Calculá el trabajo.
  2. Una fuerza de rozamiento de 12 N se opone a un desplazamiento de 6 m. Calculá e interpretá su trabajo.
  3. Una caja se desplaza 4 m horizontalmente mientras la fuerza normal vale 300 N. ¿Cuánto trabajo realiza la normal?
  4. Una persona sostiene quieta una valija de 180 N durante 30 s. Calculá el trabajo mecánico de la fuerza ejercida sobre la valija.
  5. Una fuerza constante de componentes (6 N, 4 N) actúa durante un desplazamiento (3 m, −2 m). Calculá el trabajo mediante componentes.
  6. Una fuerza constante de 50 N realiza 150 J de trabajo positivo en la dirección del desplazamiento. Determiná el desplazamiento.
  7. Un objeto vuelve a su posición inicial bajo una fuerza vectorial constante. ¿Qué trabajo total realiza esa fuerza durante el recorrido completo?
  8. Modificá la función JavaScript para calcular el trabajo de una fuerza de 70 N durante 2,5 m con un ángulo de 45°. Compará el resultado con el laboratorio.
Ver soluciones y explicaciones
  1. W = 25 N · 8 m · cos(0°) = 200 J.
  2. W = 12 N · 6 m · cos(180°) = −72 J. El signo negativo indica que la fuerza se opone al desplazamiento.
  3. La fuerza y el desplazamiento son perpendiculares: W = 300 N · 4 m · cos(90°) = 0 J.
  4. El desplazamiento es cero, por lo tanto W = 0 J. Los 30 s no modifican ese resultado.
  5. W = FxΔx + FyΔy = 6·3 + 4·(−2) = 18 − 8 = 10 J.
  6. Como tienen el mismo sentido, d = W/F = 150 J / 50 N = 3 m.
  7. El desplazamiento neto es cero. Para una fuerza vectorial constante, W = F·Δr = 0 J, aunque los trabajos de cada tramo no sean cero.
  8. W = 70·2,5·cos(45°) ≈ 123,74 J. Las pequeñas diferencias dependen del redondeo.

3.17 Ideas para recordar

  • El trabajo mide una transferencia de energía producida por una fuerza durante un desplazamiento.
  • Para una fuerza constante, W = F·Δr = F·d·cos(θ).
  • El trabajo es escalar aunque se calcule a partir de dos vectores.
  • Puede ser positivo, negativo o nulo según la orientación entre fuerza y desplazamiento.
  • Una fuerza perpendicular al desplazamiento no realiza trabajo.
  • Sin desplazamiento no hay trabajo mecánico sobre el objeto.
  • La unidad SI es el joule: 1 J = 1 N·m.
  • La fórmula como producto único exige una fuerza constante durante el recorrido.
  • En JavaScript, los ángulos usados por Math.cos deben expresarse en radianes.

En el próximo tema analizaremos con detalle el ángulo entre fuerza y desplazamiento y las condiciones que producen trabajo positivo, negativo o nulo.