4. Ángulo entre fuerza y desplazamiento: trabajo positivo, negativo y nulo

4.1 Por qué importa la orientación

En el tema anterior definimos el trabajo de una fuerza constante mediante W = F·d·cos(θ). Los módulos F y d no alcanzan para determinar el resultado: también necesitamos conocer la orientación de la fuerza respecto del desplazamiento.

Dos personas pueden ejercer fuerzas del mismo módulo sobre dos cajas que recorren la misma distancia y, sin embargo, realizar trabajos diferentes. Una puede empujar en la dirección del movimiento, otra hacerlo de manera oblicua y una tercera ejercer una fuerza perpendicular. El factor cos(θ) selecciona qué parte de la fuerza contribuye al trabajo.

4.2 El ángulo entre dos vectores

Para calcular el producto escalar colocamos conceptualmente los orígenes de la fuerza y del desplazamiento en el mismo punto. El ángulo θ es el giro más pequeño que lleva desde la dirección del desplazamiento hasta la dirección de la fuerza, y toma valores entre 0° y 180°.

• θ = 0°: los vectores tienen el mismo sentido.
• 0° < θ < 90°: forman un ángulo agudo.
• θ = 90°: son perpendiculares.
• 90° < θ < 180°: forman un ángulo obtuso.
• θ = 180°: tienen sentidos opuestos.

No debemos usar automáticamente el ángulo que una fuerza forma con la horizontal. Ese valor coincide con θ solamente cuando el desplazamiento está dirigido horizontalmente hacia el lado positivo elegido.

4.3 El coseno como factor de proyección

El producto F·cos(θ) es la componente escalar de la fuerza en la dirección del desplazamiento:

Por lo tanto, la fórmula del trabajo puede escribirse:

La componente paralela puede ser positiva, negativa o cero. No es un módulo nuevo, porque un módulo nunca es negativo: es una componente con signo respecto del eje orientado como el desplazamiento.

4.4 Los tres intervalos del trabajo

En los extremos obtenemos el mayor trabajo positivo, W = F·d, para 0°, y el trabajo más negativo, W = −F·d, para 180°. Para módulos fijos de fuerza y desplazamiento siempre se cumple:

4.5 Componente paralela y componente perpendicular

Podemos descomponer la fuerza en una componente paralela y otra perpendicular al desplazamiento:

Durante ese desplazamiento, solamente la componente paralela realiza trabajo:

Esto no significa que la componente perpendicular sea físicamente inexistente. Puede modificar otras características del movimiento o estar equilibrada por otra fuerza. Solo afirmamos que no contribuye al trabajo durante el desplazamiento considerado.

4.6 ¿Por qué una fuerza perpendicular no realiza trabajo?

El trabajo mide transferencia de energía a lo largo del desplazamiento. Si el movimiento es horizontal y la fuerza es vertical, el punto de aplicación no avanza ni retrocede en la dirección de esa fuerza. Su proyección sobre el desplazamiento es cero.

Una caja que se desplaza horizontalmente sobre una mesa plana recibe una fuerza normal vertical. Aunque la normal pueda ser grande, su trabajo es cero mientras el desplazamiento sea horizontal. Si la superficie cambia de altura, debemos volver a comparar la fuerza y el desplazamiento de cada tramo.

4.7 Cómo varía el trabajo con el ángulo

Si F y d permanecen constantes, el trabajo varía como una función coseno entre 0° y 180°. Disminuye desde +F·d, cruza por cero en 90° y llega a −F·d en 180°.

La relación no es lineal: duplicar el ángulo no divide necesariamente el trabajo a la mitad. Debemos evaluar el coseno.

4.8 Elegir el ángulo correcto

Un procedimiento seguro consiste en:

1. dibujar el vector desplazamiento con su sentido real;
2. dibujar la fuerza específica que estamos analizando;
3. trasladar uno de los vectores paralelamente hasta compartir origen, sin girarlo;
4. marcar el ángulo menor entre ambos, de 0° a 180°;
5. anticipar el signo antes de usar la calculadora.

Si una cuerda tira de una caja 25° por encima de la horizontal y la caja se desplaza hacia la derecha, θ = 25°. Si la caja se desplaza hacia la izquierda manteniendo la misma fuerza, el ángulo entre los vectores es 155°, no 25°.

4.9 Cálculo mediante componentes

Cuando conocemos las componentes cartesianas no necesitamos calcular el ángulo:

Por ejemplo, una fuerza F = (40 N, 30 N) actúa durante un desplazamiento Δr = (6 m, 0 m):

La componente vertical no contribuye porque no existe desplazamiento vertical. El módulo de la fuerza es 50 N, pero multiplicar directamente 50 N por 6 m daría 300 J y sería incorrecto: faltaría el factor angular.

4.10 Ejemplos resueltos

Ejemplo A: tirar de una caja con una cuerda oblicua

Una persona tira con una fuerza constante de 50 N que forma 30° con un desplazamiento horizontal de 8 m.

El resultado es positivo y menor que 400 J, que sería el trabajo si toda la fuerza apuntara en el sentido del desplazamiento.

Ejemplo B: fuerza parcialmente opuesta

Una fuerza de 70 N forma 120° con un desplazamiento de 3 m.

El ángulo obtuso produce una componente paralela negativa de −35 N.

Ejemplo C: comparar dos orientaciones

Una fuerza de 100 N actúa durante 2 m. A 60° realiza 100 J; a 120° realiza −100 J. Los valores absolutos coinciden porque los cosenos tienen igual módulo y signos opuestos.

4.11 Actividad interactiva: girar la fuerza

Variá libremente el ángulo y observá la fuerza roja, su proyección verde sobre el desplazamiento azul y el punto correspondiente de la gráfica coseno.

4.12 Calcular y recuperar el ángulo con JavaScript

El cálculo directo requiere convertir grados a radianes. Para recuperar el ángulo desde el trabajo utilizamos la función inversa Math.acos:

function trabajoDesdeAngulo(fuerzaN, desplazamientoM, anguloGrados) {
  const radianes = anguloGrados * Math.PI / 180;
  return fuerzaN * desplazamientoM * Math.cos(radianes);
}

function anguloDesdeTrabajo(fuerzaN, desplazamientoM, trabajoJ) {
  if (fuerzaN <= 0 || desplazamientoM <= 0) return null;

  const razon = trabajoJ / (fuerzaN * desplazamientoM);
  if (razon < -1 || razon > 1) return null;

  const razonSegura = Math.max(-1, Math.min(1, razon));
  return Math.acos(razonSegura) * 180 / Math.PI;
}

const trabajoJ = trabajoDesdeAngulo(50, 8, 30);
const anguloGrados = anguloDesdeTrabajo(50, 8, trabajoJ);

console.log("Trabajo:", trabajoJ.toFixed(2), "J");
console.log("Ángulo recuperado:", anguloGrados.toFixed(2), "°");

La razón W/(F·d) debe pertenecer al intervalo [−1, 1]. Un valor exterior indica datos incompatibles con el modelo. El recorte final protege frente a pequeños errores de redondeo cercanos a los extremos.

4.13 Despejar el ángulo a partir del trabajo

Si conocemos W, F y d, podemos despejar:

Ejemplo: una fuerza de 40 N realiza 100 J durante un desplazamiento de 5 m.

Antes de calcular debemos comprobar que F y d sean positivos y no nulos. También verificamos |W| ≤ F·d. Si F = 0 o d = 0, el trabajo es cero para cualquier orientación y el ángulo no puede determinarse a partir de estos datos.

4.14 Verificaciones útiles

• Predicción del signo: ángulo agudo, positivo; recto, cero; obtuso, negativo.
• Cota: el valor absoluto no puede superar F·d.
• Unidades: F en N y d en m producen W en J.
• Casos límite: comprobar 0°, 90° y 180°.
• Método alternativo: comparar el resultado angular con el producto por componentes.
• Calculadora: confirmar si utiliza grados o radianes.

Si un cálculo para θ = 120° produce trabajo positivo, probablemente se usó el ángulo complementario de 60°. Si el resultado supera F·d, hay un error numérico, de unidades o de datos.

4.15 Errores frecuentes

• Usar el ángulo con la horizontal: debe usarse el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.
• Elegir siempre el ángulo agudo: una fuerza opuesta parcialmente requiere un ángulo obtuso y trabajo negativo.
• Olvidar el coseno: equivale a suponer incorrectamente que toda la fuerza es paralela.
• Usar seno sin justificación: aparece solamente si el ángulo dado es complementario del ángulo buscado.
• Tratar F_∥ como módulo: es una componente y puede ser negativa.
• Creer que la componente perpendicular no existe: existe, pero no realiza trabajo durante ese desplazamiento.
• Confundir trabajo nulo con ausencia de fuerza: una fuerza perpendicular puede ser distinta de cero.
• Mezclar grados y radianes: las funciones trigonométricas de JavaScript utilizan radianes.
• Aceptar cualquier cociente en el despeje: W/(F·d) debe estar entre −1 y 1.

4.16 Ejercicios propuestos

1. Una fuerza de 40 N actúa durante un desplazamiento de 6 m formando 60°. Calculá la componente paralela y el trabajo.
2. Repetí el cálculo anterior para 120° e interpretá el cambio de signo.
3. Una persona tira de una caja con 90 N a 25° sobre la horizontal mientras la caja avanza 4 m. Calculá el trabajo de esa fuerza.
4. Una fuerza de componentes (−15 N, 20 N) actúa durante un desplazamiento (8 m, 0 m). Calculá el trabajo y anticipá si el ángulo es agudo u obtuso.
5. Una fuerza de 50 N realiza 125 J durante 5 m. Determiná el ángulo.
6. ¿Es posible que una fuerza de 20 N realice 150 J durante un desplazamiento de 5 m? Justificá sin despejar el ángulo.
7. Una caja se desplaza hacia la izquierda y una fuerza apunta 35° por encima de la horizontal hacia la derecha. ¿Qué ángulo debe utilizarse?
8. Modificá el ejemplo JavaScript para intentar recuperar un ángulo con F = 10 N, d = 2 m y W = 30 J. Explicá por qué devuelve null.

4.17 Ideas para recordar

• θ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento, no necesariamente el ángulo con un eje.
• F·cos(θ) es la componente de la fuerza paralela al desplazamiento.
• Los ángulos agudos producen trabajo positivo y los obtusos, trabajo negativo.
• Una fuerza perpendicular al desplazamiento realiza trabajo nulo.
• La componente perpendicular no contribuye al trabajo de ese desplazamiento.
• Para F y d fijos, el trabajo está comprendido entre −F·d y +F·d.
• El producto por componentes y la fórmula angular son equivalentes.
• El ángulo puede recuperarse con arccos(W/(F·d)) si los datos son compatibles.
• En JavaScript debemos convertir grados a radianes y controlar errores numéricos.

En el próximo tema calcularemos el trabajo realizado por varias fuerzas y su relación con el trabajo de la fuerza resultante.