6. Trabajo en recorridos rectos y curvos mediante desplazamientos pequeños

6.1 Cuando un único desplazamiento no cuenta toda la historia

En los temas anteriores calculamos el trabajo de fuerzas constantes durante desplazamientos rectos. Allí la dirección del movimiento permanecía fija y bastaba un solo ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.

En un recorrido curvo, la dirección instantánea del movimiento cambia. Una fuerza puede favorecer el movimiento en una parte, ser perpendicular en otra y oponerse después. Usar solamente la distancia recorrida o un único ángulo puede ocultar esos cambios.

6.2 Posición, trayectoria, distancia y desplazamiento

Conviene distinguir cuatro ideas:

La distancia recorrida es la longitud de la trayectoria y siempre es escalar no negativa. El módulo del desplazamiento nunca supera esa distancia; solamente coinciden cuando el movimiento ocurre en línea recta sin invertir el sentido.

6.3 Dividir el recorrido en tramos

Elegimos una sucesión de posiciones r₀, r₁, …, r_n. Cada par consecutivo define un desplazamiento:

La trayectoria curva queda aproximada por una línea poligonal. Al aumentar la cantidad de tramos, cada segmento representa mejor la dirección local del recorrido.

6.4 Trabajo elemental en cada tramo

Si en el tramo i la fuerza puede considerarse aproximadamente constante, su trabajo es:

Δs_i representa la pequeña distancia del tramo y θ_i es el ángulo local entre la fuerza y ese desplazamiento. La aproximación mejora cuando el tramo se acorta y las variaciones internas se vuelven despreciables.

El símbolo Δ delante de W no significa una nueva clase de trabajo: identifica la pequeña contribución correspondiente a un tramo.

6.5 Sumar las contribuciones

El trabajo del recorrido completo se aproxima sumando los trabajos de todos los segmentos:

Los términos conservan sus signos. Algunos pueden ser positivos, otros negativos y otros nulos. El resultado representa el balance neto de la fuerza a lo largo de toda la trayectoria.

Cuando imaginamos tramos cada vez más pequeños, esta suma conduce a la integral de línea. Por ahora nos concentraremos en su significado físico y en su aproximación numérica.

6.6 Un recorrido recto también puede dividirse

La técnica no es exclusiva de las curvas. Un desplazamiento recto Δr puede escribirse como suma de desplazamientos consecutivos:

Si la fuerza es constante, la suma de trabajos recupera exactamente el resultado conocido:

Dividir un tramo recto no cambia el trabajo; simplemente descompone el mismo cálculo en aportes menores.

6.7 Fuerza constante en una trayectoria curva

La misma propiedad se cumple para cualquier trayectoria si la fuerza es un vector constante. Aunque los desplazamientos pequeños cambien de dirección:

Los desplazamientos intermedios se cancelan al sumar. Por eso el trabajo de una fuerza constante depende solamente de los extremos y no de la forma del camino.

Esto no permite reemplazar la distancia por el módulo del desplazamiento sin considerar el ángulo. La expresión correcta sigue siendo un producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento total.

6.8 Ejemplo: fuerza horizontal y arco elevado

Un objeto parte de (0 m, 0 m), recorre un arco y termina en (10 m, 0 m). Una fuerza constante de 30 N apunta horizontalmente hacia la derecha.

En la primera mitad del arco los pequeños desplazamientos tienen componente vertical positiva; en la segunda, negativa. Como la fuerza no posee componente vertical, solamente aporta la componente horizontal:

Elevar más el arco aumenta la distancia recorrida, pero no modifica este trabajo. El desplazamiento horizontal entre los extremos sigue siendo 10 m.

6.9 Fuerza tangente al recorrido

Imaginemos ahora una fuerza de módulo constante que cambia de dirección para mantenerse tangente a la trayectoria y apuntar siempre en el sentido del movimiento. En cada tramo θ_i ≈ 0°:

L es la longitud del recorrido. En este caso, caminos de distinta longitud producen trabajos distintos porque la fuerza no es un vector constante: su dirección cambia siguiendo la curva.

6.10 Actividad interactiva: construir el trabajo tramo a tramo

Modificá la curvatura, la cantidad de segmentos y la orientación de una fuerza constante. La línea azul aproxima el arco; el tramo naranja y las barras muestran los trabajos locales.

6.11 Aproximar una trayectoria con JavaScript

La función siguiente genera puntos sobre un arco parabólico, calcula cada desplazamiento y acumula tanto la longitud aproximada como el trabajo de una fuerza constante:

function analizarTrayectoria(fuerzaN, alturaM, tramos) {
  const anchoM = 10;
  let longitudM = 0;
  let trabajoJ = 0;

  function posicion(i) {
    const t = i / tramos;
    return {
      x: anchoM * t,
      y: 4 * alturaM * t * (1 - t)
    };
  }

  for (let i = 0; i < tramos; i++) {
    const inicio = posicion(i);
    const fin = posicion(i + 1);
    const dx = fin.x - inicio.x;
    const dy = fin.y - inicio.y;

    longitudM += Math.hypot(dx, dy);
    trabajoJ += fuerzaN.x * dx + fuerzaN.y * dy;
  }

  return { longitudM, trabajoJ };
}

const angulo = 25 * Math.PI / 180;
const fuerzaN = {
  x: 40 * Math.cos(angulo),
  y: 40 * Math.sin(angulo)
};
const resultado = analizarTrayectoria(fuerzaN, 4, 100);

console.log("Longitud aproximada:", resultado.longitudM.toFixed(2), "m");
console.log("Trabajo acumulado:", resultado.trabajoJ.toFixed(2), "J");

Al aumentar tramos, la longitud de la línea poligonal se aproxima a la longitud del arco. El trabajo de la fuerza constante, en cambio, coincide para cualquier partición porque las componentes verticales de los desplazamientos suman cero.

6.12 El ángulo local y la tangente

Cuando los puntos de un tramo están muy próximos, Δr_i apunta casi en la dirección tangente a la trayectoria. Por eso el ángulo relevante es el que forma la fuerza con esa tangente local.

• Si la fuerza apunta en el sentido tangente, ΔW es positivo.
• Si es perpendicular a la tangente, ΔW es aproximadamente cero.
• Si su componente tangencial apunta en sentido contrario, ΔW es negativo.

Una fuerza normal a una trayectoria curva puede cambiar la dirección del movimiento sin realizar trabajo. El ejemplo clásico es una fuerza centrípeta perpendicular a la velocidad en un movimiento circular uniforme.

6.13 Recorrido cerrado

En un recorrido cerrado, la posición final coincide con la inicial y el desplazamiento total es cero:

Una fuerza vectorial constante realiza entonces trabajo total nulo:

Eso no significa que el trabajo sea cero en cada tramo. Puede ser positivo durante una parte y negativo durante otra, con cancelación al completar el circuito. Una fuerza que cambia de dirección o módulo puede producir un resultado diferente.

6.14 Procedimiento de resolución

1. Definir la trayectoria, el punto inicial y el punto final.
2. Dividir el recorrido en tramos y representar cada Δr_i.
3. Determinar la fuerza correspondiente a cada tramo.
4. Calcular ΔW_i = F_i·Δr_i.
5. Sumar algebraicamente todos los aportes.
6. Aumentar la cantidad de tramos si la fuerza o la dirección cambian de manera apreciable dentro de ellos.
7. Si la fuerza es constante, verificar el resultado con F·(r_f − r_i).

6.15 Errores frecuentes

• Confundir distancia con desplazamiento: una es la longitud del camino y el otro une los extremos.
• Multiplicar siempre F por la distancia: solo es válido si la fuerza es tangente y favorable en todo el recorrido.
• Usar un único ángulo en una curva: el ángulo local cambia aunque la fuerza sea constante.
• Sumar módulos de desplazamientos como vectores: Σ|Δr_i| aproxima la distancia; ΣΔr_i produce el desplazamiento.
• Eliminar los signos de ΔW: los aportes positivos y negativos deben compensarse cuando corresponde.
• Suponer que más tramos siempre cambian el trabajo: para una fuerza constante, la suma vectorial es exacta con cualquier partición.
• Llamar constante a una fuerza tangente: si la dirección cambia, el vector fuerza no es constante aunque su módulo sí lo sea.
• Usar tramos demasiado largos: puede ocultar variaciones importantes de una fuerza no constante.

6.16 Ejercicios propuestos

1. Un objeto se mueve en línea recta 12 m y el recorrido se divide en tramos de 3 m. Una fuerza constante de 20 N apunta en el sentido del movimiento. Calculá el trabajo de cada tramo y el total.
2. Una trayectoria une A = (0 m, 0 m), B = (3 m, 4 m) y C = (8 m, 4 m). Calculá la distancia recorrida y el desplazamiento total desde A hasta C.
3. Para el recorrido anterior actúa una fuerza constante F = (10 N, −5 N). Calculá el trabajo en AB, en BC y en todo el recorrido.
4. Una fuerza horizontal constante de 50 N actúa sobre dos caminos que unen (0 m, 0 m) con (6 m, 0 m). Uno es recto y el otro mide 10 m. Compará los trabajos.
5. Una fuerza tangente de módulo constante 30 N acompaña al objeto en esos dos caminos. Compará ahora los trabajos.
6. Una fuerza constante de componentes (12 N, 7 N) actúa durante un recorrido cerrado. ¿Cuál es su trabajo total?
7. Explicá cómo una fuerza puede realizar trabajo positivo, luego negativo y finalmente un trabajo total nulo.
8. Modificá el código JavaScript para imprimir el trabajo de cada tramo además del total.

6.17 Ideas para recordar

• Una trayectoria curva puede aproximarse mediante pequeños desplazamientos rectos.
• El trabajo de cada tramo es ΔW_i ≈ F_i·Δr_i.
• El trabajo total se obtiene sumando algebraicamente todos los aportes.
• La suma de los módulos de los tramos aproxima la distancia; la suma vectorial produce el desplazamiento total.
• Para una fuerza vectorial constante, el trabajo depende solo de los extremos.
• Una fuerza de módulo constante que sigue la tangente no es un vector constante.
• En tramos muy pequeños, el desplazamiento apunta aproximadamente en la dirección tangente.
• La partición prepara el camino para estudiar fuerzas variables e integrales de línea.

En el próximo tema analizaremos las fuerzas variables y el área bajo el gráfico de fuerza en función de la posición.