7. Fuerzas variables y área bajo el gráfico de fuerza en función de la posición

7.1 Una fuerza que cambia con la posición

Muchas fuerzas no mantienen un módulo constante. Un resorte ejerce más fuerza cuanto más se lo deforma, la resistencia de ciertos materiales cambia durante una compresión y el empuje de un dispositivo puede variar a lo largo de su recorrido.

Si la fuerza vale 10 N al comienzo y 50 N al final, multiplicar cualquiera de esos valores por el desplazamiento ignora cómo evolucionó entre ambos extremos. Incluso un promedio mal elegido puede producir un resultado incorrecto.

7.2 Fuerza como función de la posición

En un movimiento unidimensional representamos la componente de la fuerza paralela al eje mediante F_x(x). La notación indica que su valor depende de la posición x.

La gráfica coloca la posición en el eje horizontal y la fuerza en el vertical. Cada punto responde: “¿cuál es la componente de la fuerza cuando el objeto se encuentra en esta posición?”.

El eje vertical contiene una componente con signo. Valores positivos apuntan en el sentido +x y valores negativos, en el sentido −x.

7.3 Un desplazamiento suficientemente pequeño

Dividimos el recorrido desde x_a hasta x_b en intervalos pequeños Δx. Dentro de uno de ellos, la fuerza puede aproximarse por un valor representativo F_x,i:

En una gráfica F_x–x, este producto es el área de un rectángulo: altura F_x,i y base Δx_i. Al utilizar más rectángulos, la suma reproduce mejor la forma bajo la curva.

7.4 El trabajo como área con signo

En el límite de intervalos cada vez más pequeños, la suma se expresa mediante una integral:

Geométricamente, el trabajo es el área con signo comprendida entre la curva F_x(x), el eje de posiciones y los límites x_a y x_b.

7.5 Por qué el área tiene unidades de trabajo

El eje vertical se mide en newtons y el horizontal en metros. Por lo tanto, el área gráfica tiene unidades:

No se trata de un área geométrica medida en metros cuadrados. Es el producto de dos escalas físicas distintas. Un cuadrado dibujado en la pantalla no equivale necesariamente a 1 J: su valor depende de las escalas de ambos ejes.

7.6 Fuerza constante: área de un rectángulo

Si F_x es constante, su gráfica es una línea horizontal. Entre x_a y x_b aparece un rectángulo:

Este resultado coincide con W = F·d·cos(θ) cuando F_x es la componente paralela al desplazamiento. El método del área generaliza, no contradice, la fórmula de fuerza constante.

7.7 Fuerza lineal: área de un trapecio

Si la fuerza cambia linealmente entre F_a y F_b, la región es un trapecio. Su área puede calcularse con la fuerza media de los extremos:

Ejemplo: una fuerza aumenta linealmente desde 10 N hasta 50 N durante 6 m:

El promedio de los extremos funciona exactamente porque la variación es lineal. No debe aplicarse automáticamente a cualquier curva.

7.8 Descomponer figuras

Una región lineal puede separarse de varias maneras equivalentes. En el ejemplo anterior:

También podríamos calcular directamente el trapecio. Elegir una descomposición clara reduce errores y permite revisar el resultado con otro método.

7.9 Cuando la gráfica cruza el eje

Si F_x(x) cambia de signo, debemos separar el intervalo en el punto donde F_x = 0. Las áreas superiores son positivas y las inferiores, negativas.

Por ejemplo, una línea genera un triángulo de +40 J y luego otro de −15 J:

La suma de las áreas geométricas sería 55 J, pero no representa el trabajo neto. Esa suma sin signos puede utilizarse para describir cuánto trabajo positivo y negativo se intercambió, siempre que se distinga del balance final.

7.10 Actividad interactiva: área de una fuerza lineal

Construí una fuerza de la forma F_x(x) = F₀ + kx. Ajustá el intervalo y observá cómo se separan las áreas positiva y negativa.

7.11 Calcular el trabajo de una fuerza lineal con JavaScript

Para F_x(x) = F₀ + kx, el área puede calcularse como trapecio o mediante su expresión algebraica:

function fuerzaLineal(xM, fuerzaInicialN, pendienteNPorM) {
  return fuerzaInicialN + pendienteNPorM * xM;
}

function trabajoFuerzaLineal(fuerzaInicialN, pendienteNPorM, xaM, xbM) {
  const fuerzaA = fuerzaLineal(xaM, fuerzaInicialN, pendienteNPorM);
  const fuerzaB = fuerzaLineal(xbM, fuerzaInicialN, pendienteNPorM);
  return ((fuerzaA + fuerzaB) / 2) * (xbM - xaM);
}

const fuerzaInicialN = -20;
const pendienteNPorM = 8;
const xaM = 1;
const xbM = 8;
const trabajoJ = trabajoFuerzaLineal(
  fuerzaInicialN,
  pendienteNPorM,
  xaM,
  xbM
);

console.log("Fuerza inicial del intervalo:", fuerzaLineal(xaM, fuerzaInicialN, pendienteNPorM), "N");
console.log("Fuerza final del intervalo:", fuerzaLineal(xbM, fuerzaInicialN, pendienteNPorM), "N");
console.log("Trabajo:", trabajoJ.toFixed(2), "J");

El resultado es 112 J. Aunque la fuerza comienza negativa, la región positiva posterior tiene mayor área y domina el balance.

7.12 Gráficas por tramos

Una gráfica puede estar formada por segmentos horizontales, inclinados y curvos. Para resolverla geométricamente:

1. marcar los límites del desplazamiento;
2. identificar los puntos donde cambia la forma o se cruza el eje;
3. separar rectángulos, triángulos y trapecios;
4. calcular el área de cada región con sus unidades;
5. asignar signo según su posición respecto del eje;
6. sumar algebraicamente todos los aportes.

Las partes de la gráfica situadas fuera del intervalo recorrido no contribuyen al trabajo solicitado.

7.13 Sentido del recorrido y límites

Hasta aquí supusimos movimiento desde una posición menor hacia otra mayor. Si el objeto se desplaza en sentido contrario, dx es negativo y se invierten los límites:

Una fuerza positiva realiza trabajo negativo durante un desplazamiento hacia −x. Mirar solamente si la curva está sobre el eje no alcanza: también debemos conocer el sentido de integración.

7.14 Qué puede y qué no puede leerse de la gráfica

La pendiente de una gráfica F–x no es el trabajo ni la velocidad. Tampoco puede obtenerse directamente el tiempo del movimiento si no se dispone de información adicional.

7.15 Errores frecuentes

• Multiplicar la fuerza final por todo el desplazamiento: supone erróneamente que la fuerza fue constante.
• Sumar áreas sin signo: las regiones debajo del eje deben restarse para calcular el trabajo neto.
• Confundir altura con área: la altura es fuerza; el área es trabajo.
• Olvidar las escalas: las dimensiones visuales del dibujo no reemplazan los valores de los ejes.
• Promediar extremos en cualquier curva: es exacto para una variación lineal, no para una curva general.
• Calcular fuera del intervalo: solo importa la región comprendida entre las posiciones inicial y final.
• Ignorar el sentido del movimiento: invertir los límites cambia el signo del trabajo.
• Usar el módulo de la fuerza: el gráfico debe representar la componente paralela F_x con signo.

7.16 Ejercicios propuestos

1. Una fuerza constante de 25 N actúa desde x = 2 m hasta x = 9 m. Representá la gráfica y calculá el trabajo por área.
2. Una fuerza crece linealmente de 0 N a 60 N entre x = 0 m y x = 5 m. Calculá el trabajo.
3. Una fuerza disminuye linealmente de 40 N a 10 N durante 6 m. Resolvé mediante un trapecio y mediante rectángulo más triángulo.
4. Una gráfica forma un triángulo de +90 J sobre el eje y otro de 35 J debajo. Calculá el trabajo neto y la suma de áreas geométricas.
5. Para F_x(x) = −12 N + (4 N/m)x, calculá el punto de cruce y el trabajo desde x = 0 m hasta x = 6 m.
6. Calculá el trabajo de la fuerza anterior desde x = 6 m hasta x = 0 m.
7. Explicá por qué el promedio de los valores extremos puede fallar para una fuerza curva.
8. Modificá el ejemplo JavaScript para comprobar que el trabajo cambia de signo al intercambiar x_a y x_b.

7.17 Ideas para recordar

• Una fuerza variable debe describirse mediante su dependencia con la posición.
• En una dimensión, cada aporte pequeño cumple ΔW ≈ F_xΔx.
• El trabajo es el área con signo bajo la gráfica F_x–x.
• Las regiones sobre el eje aportan positivamente y las inferiores, negativamente, para movimiento hacia +x.
• El área tiene unidades N·m, equivalentes a joules.
• Rectángulos, triángulos y trapecios permiten resolver gráficas por tramos.
• Si una gráfica cruza el eje, conviene dividir allí el cálculo.
• Invertir el sentido del recorrido invierte el signo del trabajo.

En el próximo tema aprenderemos a aproximar numéricamente el trabajo de una fuerza variable mediante sumas.