8. Aproximar el trabajo de una fuerza variable con sumas numéricas

8.1 Cuando el área no tiene una fórmula sencilla

En el tema anterior calculamos trabajos a partir de rectángulos, triángulos y trapecios. Sin embargo, una fuerza real puede seguir una curva irregular o conocerse solamente en posiciones medidas experimentalmente.

En esas situaciones aproximamos el área bajo F_x(x) mediante muchas figuras simples. Cada figura representa el trabajo de un intervalo pequeño y la suma estima el trabajo total.

8.2 Particionar el intervalo

Dividimos [x_a, x_b] en n intervalos de igual ancho:

Los extremos quedan dados por x_i = x_a + iΔx. Cuanto mayor es n, menor es Δx y mejor puede seguirse la variación de la fuerza.

También pueden utilizarse intervalos de anchos diferentes. En ese caso cada término debe multiplicarse por su propio Δx_i.

8.3 Elegir una fuerza representativa

Dentro de cada intervalo seleccionamos una posición de muestra x_i^* y evaluamos allí la fuerza:

Elegir el extremo izquierdo, el derecho o el punto medio produce aproximaciones distintas. Todas convergen hacia la misma integral si la función es suficientemente regular y Δx tiende a cero.

8.4 Cuatro métodos frecuentes

No existe un método que siempre sobrestime o siempre subestime. El comportamiento depende de si la función crece, decrece y de su curvatura.

8.5 Suma por la izquierda

Para intervalos iguales, la regla izquierda es:

Si F_x es positiva y creciente, los rectángulos quedan por debajo de la curva y la suma subestima el trabajo. Si la fuerza es decreciente, puede ocurrir lo contrario.

8.6 Suma por la derecha

Para una función positiva y creciente, la regla derecha suele sobrestimar. Comparar las sumas izquierda y derecha permite encerrar el valor exacto cuando la función conserva esa monotonía.

El promedio de ambas sumas coincide con la regla del trapecio cuando todos los intervalos tienen el mismo ancho.

8.7 Regla del punto medio

El rectángulo toma la altura central. Para funciones suaves suele ser mucho más preciso que usar un extremo con la misma cantidad de intervalos, porque compensa parte de la variación dentro de cada tramo.

8.8 Regla del trapecio

En cada intervalo se reemplaza la curva por el segmento que une sus extremos:

El método es exacto para fuerzas lineales y muy útil cuando los datos provienen de una tabla. Solo necesita los valores medidos en los extremos de cada intervalo.

8.9 Ejemplo comparativo

Sea F_x(x) = x² N entre 0 m y 2 m, dividido en dos intervalos de 1 m.

Con solo dos intervalos, punto medio y trapecios ya se acercan bastante más al valor exacto que las reglas de los extremos.

8.10 Actividad interactiva: comparar aproximaciones

La fuerza del laboratorio es F_x(x) = F₀ + cx². Elegí un método y aumentá la cantidad de intervalos para observar la convergencia.

8.11 Implementar los métodos con JavaScript

function trabajoNumerico(fuerza, xa, xb, intervalos, metodo = "midpoint") {
  if (intervalos < 1 || xb <= xa) return null;
  const dx = (xb - xa) / intervalos;
  let trabajo = 0;

  for (let i = 0; i < intervalos; i++) {
    const izquierda = xa + i * dx;
    const derecha = izquierda + dx;

    if (metodo === "trapezoid") {
      trabajo += (fuerza(izquierda) + fuerza(derecha)) * dx / 2;
    } else {
      let muestra = (izquierda + derecha) / 2;
      if (metodo === "left") muestra = izquierda;
      if (metodo === "right") muestra = derecha;
      trabajo += fuerza(muestra) * dx;
    }
  }
  return trabajo;
}

const fuerza = x => 5 + 2 * x ** 2;
for (const metodo of ["left", "right", "midpoint", "trapezoid"]) {
  const trabajo = trabajoNumerico(fuerza, 0, 6, 12, metodo);
  console.log(metodo, trabajo.toFixed(3), "J");
}

La función recibe otra función como argumento, por lo que puede reutilizarse con diferentes modelos de fuerza. También valida que el intervalo y la cantidad de subdivisiones sean aceptables.

8.12 Error absoluto y error relativo

Si conocemos un valor de referencia W_ref, evaluamos la aproximación W_aprox mediante:

El error absoluto conserva las unidades de trabajo. El relativo permite comparar problemas de escalas distintas. Si W_ref = 0, el error relativo porcentual no está definido y debemos informar el error absoluto.

8.13 Convergencia y criterio de detención

Cuando no existe una solución exacta, repetimos el cálculo duplicando n. Si dos resultados consecutivos difieren menos que una tolerancia elegida, aceptamos la aproximación:

La tolerancia debe relacionarse con la precisión física de los datos. Exigir diez decimales no mejora una medición de fuerza conocida solamente con dos cifras significativas.

8.14 Datos experimentales en una tabla

Si conocemos pares (x, F_x) medidos, la regla del trapecio se adapta naturalmente:

Esta expresión admite separaciones diferentes entre mediciones. Antes de usarla debemos ordenar los datos por posición, verificar unidades y decidir cómo tratar valores faltantes o mediciones evidentemente anómalas.

8.15 Errores frecuentes

• Usar n como ancho: Δx se calcula dividiendo la longitud del intervalo por n.
• Contar mal los puntos: n intervalos iguales requieren n + 1 extremos.
• Mezclar métodos: todos los rectángulos deben seguir la regla elegida.
• Olvidar multiplicar por Δx: sumar fuerzas produce newtons, no joules.
• Eliminar fuerzas negativas: sus términos aportan trabajo negativo.
• Suponer que más cifras significan más exactitud: el error depende del método, de n y de los datos.
• Aplicar intervalos iguales a datos desiguales: debe usarse cada ancho real.
• No verificar convergencia: un único cálculo no informa si n es suficiente.

8.16 Ejercicios propuestos

1. Para F(x) = 2x N entre 0 m y 4 m, calculá las sumas izquierda y derecha con cuatro intervalos.
2. Repetí el ejercicio con punto medio y trapecios. Compará con el valor exacto de 16 J.
3. Aproximá el trabajo de F(x) = x² N entre 0 m y 3 m con tres rectángulos por punto medio.
4. Calculá el error absoluto y relativo del resultado anterior respecto de 9 J.
5. Una tabla contiene (0 m, 10 N), (1 m, 14 N), (2,5 m, 20 N) y (4 m, 8 N). Aplicá trapecios respetando los anchos.
6. Explicá por qué izquierda y derecha encierran el valor exacto para una fuerza positiva creciente.
7. ¿Qué criterio usarías para detener un cálculo si no conocés la solución exacta?
8. Modificá el código para duplicar automáticamente n hasta que dos resultados difieran menos de 0,01 J.

8.17 Ideas para recordar

• Una suma numérica aproxima el trabajo mediante áreas simples.
• Para intervalos iguales, Δx = (x_b − x_a)/n.
• Izquierda, derecha y punto medio difieren en la posición donde evalúan la fuerza.
• La regla del trapecio promedia las fuerzas de los extremos.
• Punto medio y trapecios suelen ser más precisos para funciones suaves.
• Aumentar n permite estudiar la convergencia.
• El error debe compararse con la precisión real de los datos.
• Los datos tabulados con anchos desiguales se integran usando cada Δx_i.

En el próximo tema estudiaremos la energía cinética y su relación con la masa y la velocidad.