10. Resultantes y equilibrio vectorial

10.1 Del conjunto a una resultante

Cuando varias magnitudes vectoriales actúan sobre un mismo sistema, podemos reemplazar su efecto combinado por un único vector llamado resultante. Para fuerzas concurrentes, todas se consideran aplicadas en un mismo punto idealizado.

La resultante se obtiene mediante suma vectorial. No depende del orden en que sumemos, aunque la construcción gráfica punta-cola pueda mostrar recorridos intermedios diferentes.

10.2 Cálculo analítico por componentes

Para n vectores v_i, sumamos por separado las componentes:

Después calculamos módulo y dirección con Math.hypot(Rx, Ry) y Math.atan2(Ry, Rx).

function resultante(vectores) {
  return vectores.reduce(
    (r, v) => ({ x: r.x + v.x, y: r.y + v.y }),
    { x: 0, y: 0 }
  );
}

console.log(resultante([{ x: 4, y: 1 }, { x: -2, y: 3 }, { x: 1, y: -4 }]));

10.3 Construcción gráfica

El método punta-cola forma una cadena: trasladamos cada vector sin modificarlo y la resultante une el comienzo del primero con el final del último. Si la cadena termina donde empezó, la resultante es nula.

La construcción sirve para estimar y comprender el resultado. El método analítico entrega mayor precisión y es el apropiado para programar.

10.4 Condición de equilibrio vectorial

Un sistema está en equilibrio traslacional cuando la suma de las fuerzas es el vector nulo:

No alcanza con que una componente sea cero. Si ΣF_x = 0 pero ΣF_y ≠ 0, existe una resultante vertical.

10.5 Fuerza equilibrante

La equilibrante es el vector que debemos agregar para anular una resultante existente:

Tiene el mismo módulo y la misma línea de acción que la resultante, pero sentido contrario. Si R = (3, −4) N, entonces E = (−3, 4) N y ambas tienen módulo 5 N.

function equilibrante(vectores) {
  const r = vectores.reduce(
    (suma, v) => ({ x: suma.x + v.x, y: suma.y + v.y }),
    { x: 0, y: 0 }
  );
  return { x: -r.x, y: -r.y };
}

console.log(equilibrante([{ x: 8, y: 2 }, { x: -3, y: -6 }]));

10.6 Fuerzas dadas mediante módulo y ángulo

Antes de sumar, convertimos cada fuerza a componentes usando una convención común:

Luego acumulamos todas las componentes. Es importante no redondear cada fuerza demasiado pronto, ya que los errores pueden impedir detectar una cancelación.

10.7 Ejemplo de tres fuerzas

Sobre un punto actúan F₁ = (6, 0) N, F₂ = (−2, 5) N y F₃ = (−4, −1) N.

Los aportes horizontales se cancelan, pero queda una resultante de 4 N hacia +y. La equilibrante sería (0, −4) N.

10.8 Diagramas de vectores

Antes de calcular conviene aislar el sistema y dibujar cada vector relevante desde un origen común. Para un diagrama de fuerzas:

1. Elegir el objeto o partícula analizada.
2. Identificar las interacciones externas.
3. Definir ejes y sentidos positivos.
4. Dibujar y rotular cada fuerza.
5. Descomponer las fuerzas inclinadas.
6. Sumar por componentes y comprobar.

No deben incluirse fuerzas que actúan sobre otros objetos dentro del mismo diagrama.

10.9 Incógnitas de equilibrio

Las condiciones ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0 forman dos ecuaciones escalares. Permiten determinar hasta dos incógnitas independientes en un problema plano cuando las demás cantidades son conocidas.

Por ejemplo, si una fuerza desconocida T debe equilibrar dos fuerzas conocidas, no hace falta adivinar módulo y ángulo: calculamos primero la resultante conocida y tomamos su opuesto.

10.10 Equilibrio exacto y tolerancia numérica

En una computadora, operaciones trigonométricas y redondeos pueden producir una resultante muy pequeña en vez de exactamente (0, 0). Por eso comprobamos el módulo contra una tolerancia.

function estaEnEquilibrio(vectores, tolerancia = 1e-9) {
  const r = vectores.reduce(
    (s, v) => ({ x: s.x + v.x, y: s.y + v.y }),
    { x: 0, y: 0 }
  );
  return Math.hypot(r.x, r.y) <= tolerancia;
}

console.log(estaEnEquilibrio([{ x: 3, y: 4 }, { x: -3, y: -4 }]));

La tolerancia debe relacionarse con la escala y precisión de los datos. No es un número universal.

10.11 Equilibrio traslacional y rotacional

Para una partícula ideal, la suma de fuerzas describe completamente el equilibrio. Para un cuerpo extenso, una resultante nula no garantiza que no gire: dos fuerzas paralelas y opuestas aplicadas en lugares diferentes pueden formar un par.

En este tema analizamos equilibrio traslacional. Los efectos rotacionales requieren considerar momentos o torques, que se abordarán en el curso correspondiente.

10.12 Laboratorio de resultantes

Modificá las tres fuerzas mediante módulo y ángulo. El diagrama muestra cada vector desde el origen, la resultante amarilla y la equilibrante discontinua.

10.13 Validaciones y errores frecuentes

• Sumar módulos en vez de componentes.
• Usar diferentes convenciones angulares dentro del mismo cálculo.
• Olvidar convertir grados a radianes.
• Comprobar una sola componente para declarar equilibrio.
• Confundir resultante con equilibrante.
• Exigir igualdad exacta a cero con datos aproximados.
• Incluir en un diagrama vectores que actúan sobre otro sistema.
• Suponer que resultante nula garantiza equilibrio rotacional.

10.14 Ejercicio integrador

Un anillo recibe tres tensiones: 50 N a 0°, 40 N a 120° y 30 N a 240°, con ángulos medidos desde +x.

1. Descomponé las tres tensiones.
2. Calculá las componentes de la resultante.
3. Obtené módulo y dirección.
4. Calculá la equilibrante necesaria.
5. Indicá si las tres tensiones originales están en equilibrio.

const polar = (modulo, grados) => {
  const a = grados * Math.PI / 180;
  return { x: modulo * Math.cos(a), y: modulo * Math.sin(a) };
};
const fuerzas = [polar(50, 0), polar(40, 120), polar(30, 240)];
const R = fuerzas.reduce((s, f) => ({ x: s.x + f.x, y: s.y + f.y }), { x: 0, y: 0 });
const E = { x: -R.x, y: -R.y };

console.log({ fuerzas, R, modulo: Math.hypot(R.x, R.y), angulo: Math.atan2(R.y, R.x) * 180 / Math.PI, E });

10.15 Ideas para recordar

• La resultante es la suma vectorial de todos los aportes compatibles.
• El cálculo analítico suma cada componente por separado.
• Hay equilibrio traslacional cuando todas las sumas por eje son cero.
• La equilibrante es el opuesto de la resultante.
• Las fuerzas polares deben convertirse a una referencia angular común.
• En cálculos numéricos, el equilibrio se evalúa con una tolerancia.
• Un cuerpo extenso puede requerir además una condición de equilibrio rotacional.

En el próximo tema estudiaremos el producto escalar y el ángulo entre vectores.