5. Suma y resta de vectores: métodos gráfico y analítico

5.1 Por qué sumamos vectores

Un robot avanza mientras una plataforma también se mueve; varias personas empujan un objeto; una embarcación navega en presencia de una corriente. En estas situaciones intervienen magnitudes vectoriales que debemos combinar para obtener una resultante.

La suma vectorial considera simultáneamente todas las componentes. No basta con sumar módulos: dos vectores de 5 N pueden producir una resultante de 10 N si tienen el mismo sentido, de 0 N si son opuestos o de otro valor si forman un ángulo.

5.2 Suma por componentes

Sean a = (a_x, a_y) y b = (b_x, b_y). La suma se realiza eje por eje:

Si a = (4, 2) m y b = (−1, 3) m, la resultante es (3, 5) m. Los signos incorporan el sentido de cada aporte.

function sumar(a, b) {
  return { x: a.x + b.x, y: a.y + b.y };
}

const a = { x: 4, y: 2 };
const b = { x: -1, y: 3 };
console.log(sumar(a, b));

5.3 Método gráfico punta-cola

Para sumar gráficamente a + b, dibujamos a y trasladamos b sin girarlo ni cambiar su longitud hasta colocar su cola en la punta de a. La resultante va desde la cola de a hasta la punta trasladada de b.

1. Elegir una escala común.
2. Dibujar el primer vector.
3. Trasladar paralelamente el segundo.
4. Unir el inicio del recorrido con el final.
5. Medir y comprobar la resultante.

Este método describe desplazamientos sucesivos de manera natural: la punta de un tramo es el inicio del siguiente.

5.4 Método del paralelogramo

Cuando ambos vectores parten del mismo punto, podemos completar un paralelogramo trazando copias paralelas. La diagonal que nace en el origen común es la suma.

El paralelogramo y el método punta-cola producen la misma resultante. El primero destaca el efecto simultáneo; el segundo suele ser más claro para una secuencia de movimientos.

5.5 La suma es conmutativa

Cambiar el orden de los vectores cambia el camino punta-cola, pero no el punto final ni la resultante. Analíticamente, esto se debe a que la suma de números es conmutativa en cada componente.

En una descripción temporal, los recorridos intermedios sí pueden ser diferentes. Caminar primero al este y luego al norte no produce el mismo trayecto que hacerlo en orden inverso, aunque el desplazamiento total coincida.

5.6 Sumar más de dos vectores

La suma también es asociativa:

Podemos formar una cadena punta-cola o acumular componentes. Para una colección de vectores, un acumulador evita repetir código:

function sumarTodos(vectores) {
  return vectores.reduce(
    (total, vector) => ({ x: total.x + vector.x, y: total.y + vector.y }),
    { x: 0, y: 0 }
  );
}

console.log(sumarTodos([{ x: 3, y: 1 }, { x: -2, y: 4 }, { x: 0, y: -3 }]));

5.7 Vector opuesto y resta

Restar b equivale a sumar su opuesto:

El vector −b conserva el módulo y la dirección de b, pero invierte su sentido. Esta idea permite aplicar el método punta-cola también a una resta.

function restar(a, b) {
  return { x: a.x - b.x, y: a.y - b.y };
}

console.log(restar({ x: 5, y: 2 }, { x: 1, y: 6 }));

5.8 Interpretar la diferencia

La resta suele responder «¿qué vector lleva desde b hasta a?». Si dos objetos están en las posiciones A y B, entonces A − B es el vector desde B hacia A.

Por ejemplo, si un objetivo está en (8, 5) m y un robot en (2, 1) m, el vector que el robot debe seguir hacia el objetivo es:

Invertir la resta produciría el vector que apunta desde el objetivo hacia el robot.

5.9 Módulo de una resultante

Primero sumamos las componentes y después calculamos el módulo. No debemos sumar los módulos salvo en el caso especial de vectores colineales con el mismo sentido:

Para a = (3, 0) N y b = (0, 4) N, la resultante es (3, 4) N y su módulo es 5 N, no 7 N.

5.10 Resultados límite para comprobar

Además, la desigualdad triangular establece que |a + b| ≤ |a| + |b|. Una resultante mayor que esa suma revela un error.

5.11 Laboratorio de suma y resta

Modificá ambos vectores y alterná la operación o el método gráfico. Las líneas discontinuas muestran las copias necesarias para construir el paralelogramo.

5.12 Unidades y diseño del programa

La operación solo tiene significado si ambos vectores representan magnitudes compatibles. Podemos sumar dos desplazamientos en metros, pero no un desplazamiento y una velocidad.

function sumarConUnidad(a, b) {
  if (a.unidad !== b.unidad) throw new Error("Unidades incompatibles");
  return { x: a.x + b.x, y: a.y + b.y, unidad: a.unidad };
}

const primero = { x: 2, y: 1, unidad: "m" };
const segundo = { x: -1, y: 4, unidad: "m" };
console.log(sumarConUnidad(primero, segundo));

Una aplicación completa también debería comprobar el sistema de referencia. Componentes expresadas en ejes distintos deben transformarse antes de sumarse.

5.13 Errores frecuentes

• Sumar los módulos en lugar de las componentes.
• Ignorar signos negativos al combinar aportes opuestos.
• Girar un vector al trasladarlo para el método punta-cola.
• Dibujar la resultante entre las puntas de ambos vectores en una suma.
• Interpretar a − b como b − a.
• Combinar unidades o sistemas de referencia incompatibles.
• Creer que igual desplazamiento resultante implica igual trayectoria.

5.14 Ejercicio integrador

Un dron realiza tres desplazamientos: a = (6, 2) m, b = (−1, 5) m y c = (−3, −4) m.

1. Calculá la resultante total por componentes.
2. Obtené su módulo y dirección desde +x.
3. Indicá el vector necesario para regresar directamente al punto inicial.
4. Comprobá que cambiar el orden de los tres tramos no altera la resultante.
5. Representá el cálculo en JavaScript.

const tramos = [
  { x: 6, y: 2 },
  { x: -1, y: 5 },
  { x: -3, y: -4 }
];

const resultante = tramos.reduce(
  (r, v) => ({ x: r.x + v.x, y: r.y + v.y }),
  { x: 0, y: 0 }
);
const modulo = Math.hypot(resultante.x, resultante.y);
const direccion = Math.atan2(resultante.y, resultante.x) * 180 / Math.PI;
const regreso = { x: -resultante.x, y: -resultante.y };

console.log({ resultante, modulo, direccion, regreso });

5.15 Ideas para recordar

• Los vectores se suman componente a componente.
• Los métodos punta-cola y del paralelogramo producen la misma resultante.
• La suma es conmutativa y asociativa.
• Restar un vector equivale a sumar su opuesto.
• La diferencia A − B apunta desde B hacia A.
• El módulo se calcula después de obtener las componentes resultantes.
• Solo deben combinarse magnitudes, unidades y referencias compatibles.

En el próximo tema estudiaremos la multiplicación de vectores por escalares y las combinaciones lineales.