8. Vectores unitarios y bases ortonormales

8.1 Una dirección sin intensidad

Un vector unitario tiene módulo uno. Su función principal es representar una dirección y un sentido sin incorporar una intensidad física particular. Después podemos multiplicarlo por una distancia, rapidez o fuerza para construir el vector deseado.

Por ejemplo, (0,6; 0,8) es unitario porque √(0,6² + 0,8²) = 1. Multiplicarlo por 10 m produce el desplazamiento (6, 8) m.

8.2 Cómo obtener un vector unitario

Para un vector no nulo v, dividimos todas sus componentes por el módulo:

La operación conserva dirección y sentido. No puede aplicarse al vector nulo porque implicaría dividir por cero y no existe una dirección que conservar.

function unitario(v) {
  const modulo = Math.hypot(v.x, v.y);
  if (modulo === 0) return null;
  return { x: v.x / modulo, y: v.y / modulo };
}

console.log(unitario({ x: -3, y: 4 }));

8.3 Unitario desde un ángulo

También podemos construir directamente el vector unitario que forma un ángulo θ con +x:

Su módulo siempre es uno porque cos²θ + sen²θ = 1. Para 30° obtenemos aproximadamente (0,866; 0,5).

function unitarioDesdeGrados(grados) {
  const radianes = grados * Math.PI / 180;
  return { x: Math.cos(radianes), y: Math.sin(radianes) };
}

console.log(unitarioDesdeGrados(30));

8.4 Qué es una base

Una base es un conjunto de vectores independientes que permite construir cualquier vector del espacio considerado mediante combinaciones lineales. En el plano necesitamos dos vectores base no paralelos; en el espacio tridimensional necesitamos tres que no sean coplanarios.

Los números que multiplican a los vectores base son las componentes del vector respecto de esa base. Por lo tanto, las componentes no existen aisladas: siempre corresponden a una base elegida.

8.5 La base cartesiana estándar

En dos dimensiones utilizamos habitualmente:

Entonces cualquier vector puede escribirse:

Para v = (4, −2), la expresión equivalente es 4i − 2j. Los coeficientes indican cuánto avanzar en cada dirección base.

8.6 Ortogonal, normal y ortonormal

La base (i, j) es ortonormal: ambos vectores miden uno y forman 90°. Esto simplifica la interpretación geométrica de las componentes.

8.7 Construir una base ortonormal rotada

Si el primer eje unitario forma un ángulo θ con +x, podemos elegir:

El segundo se obtiene girando el primero 90° en sentido antihorario. Ambos conservan módulo uno y perpendicularidad para cualquier θ.

function baseRotada(grados) {
  const angulo = grados * Math.PI / 180;
  const coseno = Math.cos(angulo);
  const seno = Math.sin(angulo);
  return {
    e1: { x: coseno, y: seno },
    e2: { x: -seno, y: coseno }
  };
}

console.log(baseRotada(30));

8.8 Componentes respecto de una base

Si e₁ y e₂ forman una base, los coeficientes a y b construyen:

En una base rotada, el par (a, b) no coincide normalmente con las componentes cartesianas (v_x, v_y). Ambos pares representan el mismo vector físico respecto de bases distintas.

function combinarBase(base, a, b) {
  return {
    x: a * base.e1.x + b * base.e2.x,
    y: a * base.e1.y + b * base.e2.y
  };
}

const base = { e1: { x: 0, y: 1 }, e2: { x: -1, y: 0 } };
console.log(combinarBase(base, 3, 2));

8.9 Comprobar una base ortonormal

Podemos comprobar tres condiciones: cada vector debe tener módulo uno, deben ser perpendiculares y no deben coincidir. La perpendicularidad puede verificarse calculando e_1xe_2x + e_1ye_2y, que debe valer cero. Esta operación se estudiará formalmente como producto escalar.

function esOrtonormal(e1, e2, tolerancia = 1e-10) {
  const modulo1 = Math.hypot(e1.x, e1.y);
  const modulo2 = Math.hypot(e2.x, e2.y);
  const perpendicularidad = e1.x * e2.x + e1.y * e2.y;
  return Math.abs(modulo1 - 1) <= tolerancia
      && Math.abs(modulo2 - 1) <= tolerancia
      && Math.abs(perpendicularidad) <= tolerancia;
}

console.log(esOrtonormal({ x: 1, y: 0 }, { x: 0, y: 1 }));

8.10 Orientación de una base

El orden de los vectores base importa. (i, j) tiene la orientación cartesiana habitual: girar desde el primero hacia el segundo por el camino más corto es antihorario. Intercambiarlos produce una base igualmente ortonormal, pero con orientación contraria.

En 3D esta elección se relaciona con la regla de la mano derecha. Mantener una convención coherente resulta esencial en gráficos, rotaciones y productos vectoriales.

8.11 Base ortonormal en tres dimensiones

La base cartesiana estándar de 3D agrega k:

Cualquier vector se escribe v = v_xi + v_yj + v_zk. Los tres ejes son mutuamente perpendiculares y sus vectores unitarios tienen módulo uno.

8.12 Bases locales en aplicaciones

Un vehículo puede usar una base local formada por «adelante» y «lateral», mientras el mundo utiliza «este» y «norte». Una cámara 3D utiliza habitualmente direcciones derecha, arriba y frente. Expresar una orden en la base local facilita decir «avanzar 3 y desplazarse 1 a la izquierda».

La base debe mantenerse ortonormal para que las componentes conserven una interpretación directa como longitudes. Los errores numéricos acumulados pueden exigir una corrección periódica.

8.13 Laboratorio de bases ortonormales

Rotá la base y elegí los coeficientes a y b. La flecha resultante representa el mismo cálculo ae₁ + be₂; se muestran también sus componentes cartesianas.

8.14 Errores frecuentes

• Considerar unitario a cualquier vector cuyas componentes estén entre −1 y 1.
• Intentar normalizar el vector nulo.
• Confundir vectores base con componentes.
• Suponer que un mismo par de componentes representa el mismo vector en cualquier base.
• Llamar ortonormal a una base solamente porque sus vectores son perpendiculares.
• Olvidar el orden y la orientación de los vectores base.
• Mezclar componentes locales y globales sin convertirlas.

8.15 Ejercicio integrador

Una base local está rotada 30° respecto de la base cartesiana. En ella, un desplazamiento tiene componentes (6, 2) m.

1. Calculá los vectores unitarios e₁ y e₂.
2. Comprobá que ambos tienen módulo uno y son perpendiculares.
3. Construí las componentes cartesianas del desplazamiento.
4. Calculá su módulo y comparalo con √(6² + 2²).
5. Explicá por qué ambos resultados deben coincidir.

const theta = 30 * Math.PI / 180;
const e1 = { x: Math.cos(theta), y: Math.sin(theta) };
const e2 = { x: -Math.sin(theta), y: Math.cos(theta) };
const a = 6, b = 2;
const v = {
  x: a * e1.x + b * e2.x,
  y: a * e1.y + b * e2.y
};

console.log({ e1, e2, v });
console.log("Módulos:", Math.hypot(v.x, v.y), Math.hypot(a, b));

8.16 Ideas para recordar

• Un vector unitario tiene módulo uno y representa una orientación.
• Puede obtenerse normalizando un vector no nulo o usando (cos θ, sen θ).
• Una base permite construir todos los vectores del espacio mediante combinaciones lineales.
• Una base ortonormal utiliza vectores unitarios mutuamente perpendiculares.
• Las componentes son coeficientes respecto de una base.
• Rotar la base cambia las componentes, no necesariamente el vector físico.
• En 3D, la base estándar está formada por i, j y k.

En el próximo tema estudiaremos la descomposición de vectores y sus proyecciones sobre los ejes.