9. Descomposición de un vector y proyecciones sobre ejes

9.1 Un vector, dos aportes

Un vector inclinado puede expresarse como la suma de un vector horizontal y otro vertical. Esta descomposición no divide el fenómeno en dos vectores físicos independientes: ofrece dos aportes matemáticos cuya suma reconstruye el original.

Trabajar por ejes simplifica problemas porque cada componente puede analizarse con las reglas correspondientes a su dirección.

9.2 Componentes escalares y vectores componente

Para v = (v_x, v_y) distinguimos:

• v_x y v_y: componentes escalares con signo.
• v_x = v_xi: vector componente sobre x.
• v_y = v_yj: vector componente sobre y.

El subíndice puede referirse a un número o a un vector según la tipografía y el contexto. Conviene aclararlo al escribir.

9.3 Proyección gráfica sobre los ejes

Desde la punta del vector trazamos líneas perpendiculares hacia cada eje. Los segmentos orientados desde el origen hasta esos puntos son las proyecciones sobre x e y.

En un sistema cartesiano ortonormal, estas proyecciones coinciden con los catetos del triángulo rectángulo asociado. La diagonal es el vector original.

9.4 Componentes desde módulo y ángulo

Si θ se mide desde +x en sentido antihorario:

Para un vector de 20 N a 35°, v_x ≈ 16,38 N y v_y ≈ 11,47 N. Ambas componentes son positivas porque el vector está en el primer cuadrante.

function descomponer(modulo, grados) {
  const angulo = grados * Math.PI / 180;
  return {
    x: modulo * Math.cos(angulo),
    y: modulo * Math.sin(angulo)
  };
}

console.log(descomponer(20, 35));

9.5 El signo pertenece a la componente

Las longitudes del triángulo auxiliar son positivas, pero las componentes cartesianas incluyen signo. En el segundo cuadrante, x es negativa e y positiva; en el cuarto, x es positiva e y negativa.

9.6 Cuando el ángulo se mide desde y

Las fórmulas anteriores dependen del eje desde el cual se mide el ángulo. Si α se mide desde +y hacia +x en el primer cuadrante:

No se trata de memorizar dos pares de fórmulas, sino de reconocer cuál componente es adyacente al ángulo y cuál es opuesta. También podemos convertir α al ángulo estándar θ = 90° − α.

9.7 Reconstruir el vector

Al conocer las componentes, reconstruimos módulo y dirección:

atan2 conserva el cuadrante. Usar atan(vy / vx) pierde información y falla cuando v_x es cero.

function reconstruir(x, y) {
  const modulo = Math.hypot(x, y);
  const angulo = modulo === 0 ? null : Math.atan2(y, x) * 180 / Math.PI;
  return { modulo, angulo };
}

console.log(reconstruir(-8.66, 5));

9.8 Comprobar mediante Pitágoras

En ejes ortonormales, las componentes satisfacen:

Esta igualdad comprueba la descomposición. Si el módulo reconstruido no coincide dentro de la tolerancia esperada, debemos revisar ángulos, signos, unidades o redondeos.

9.9 Descomponer fuerzas inclinadas

Una cuerda tira con 80 N a 25° sobre la horizontal. Sus componentes son F_x = 80 cos 25° ≈ 72,50 N y F_y = 80 sen 25° ≈ 33,81 N.

Estas componentes no son fuerzas adicionales. Son la representación de la misma fuerza sobre los ejes. Sumarlas nuevamente como si fueran distintas de la fuerza original contaría dos veces el mismo efecto.

9.10 Elegir ejes convenientes

Los ejes no siempre deben ser horizontal y vertical. En una superficie inclinada suele convenir elegir un eje paralelo y otro perpendicular al plano. Esto puede reducir la cantidad de componentes no nulas y simplificar las relaciones.

La elección no modifica el vector físico. Modifica sus componentes y la facilidad con que planteamos el problema. La descomposición sobre ejes rotados se abordará con mayor detalle al estudiar cambios de base.

9.11 Descomposición en tres dimensiones

En 3D agregamos la proyección sobre z:

Las componentes se reconstruyen por suma y el módulo cumple |v| = √(v_x² + v_y² + v_z²). Una visualización 2D puede necesitar varias vistas o perspectiva, pero los cálculos conservan tres componentes.

9.12 Laboratorio de descomposición

Modificá módulo y ángulo. Podés medir desde +x o desde +y; el laboratorio traduce ambas convenciones al mismo ángulo estándar y muestra las proyecciones.

9.13 Implementación y redondeo

Las funciones trigonométricas pueden producir valores diminutos donde matemáticamente debería haber cero. Por ejemplo, cos 90° no resulta exactamente cero en aritmética binaria. Conviene conservar el valor para los cálculos y ajustar únicamente la presentación.

function limpiarParaMostrar(valor, tolerancia = 1e-12) {
  return Math.abs(valor) < tolerancia ? 0 : valor;
}

const angulo = 90 * Math.PI / 180;
const x = Math.cos(angulo);
console.log("Calculado:", x);
console.log("Mostrado:", limpiarParaMostrar(x));

9.14 Errores frecuentes

• Usar seno para x y coseno para y sin revisar desde qué eje se mide.
• Convertir todas las componentes a valores positivos.
• Confundir componentes escalares con vectores componente.
• Tratar las proyecciones como fuerzas adicionales.
• Usar grados directamente en Math.sin o Math.cos.
• Reconstruir el ángulo con una arcotangente que pierde el cuadrante.
• Redondear componentes antes de completar los cálculos.

9.15 Ejercicio integrador

Un cable ejerce una tensión de 120 N dirigida 40° al este del norte. Adoptá +x hacia el este y +y hacia el norte.

1. Convertí la descripción al ángulo estándar medido desde +x.
2. Calculá las componentes cartesianas.
3. Escribí los vectores componente.
4. Reconstruí módulo y dirección.
5. Comprobá el resultado en JavaScript sin redondear valores intermedios.

const tension = 120;
const esteDelNorte = 40;
const anguloEstandar = 90 - esteDelNorte;
const radianes = anguloEstandar * Math.PI / 180;
const fuerza = {
  x: tension * Math.cos(radianes),
  y: tension * Math.sin(radianes)
};
const reconstruido = {
  modulo: Math.hypot(fuerza.x, fuerza.y),
  angulo: Math.atan2(fuerza.y, fuerza.x) * 180 / Math.PI
};

console.log({ fuerza, reconstruido });

9.16 Ideas para recordar

• Descomponer expresa un vector como suma de aportes sobre los ejes.
• Las componentes escalares tienen signo; los vectores componente incluyen dirección.
• Desde +x: v_x = v cos θ y v_y = v sen θ.
• Si el ángulo se mide desde otro eje, hay que adaptar las relaciones.
• La suma de los vectores componente reconstruye el vector original.
• El módulo y atan2 permiten comprobar componentes y cuadrante.
• Las proyecciones son representaciones del mismo vector, no efectos adicionales.

En el próximo tema aplicaremos estas herramientas al cálculo de resultantes y condiciones de equilibrio vectorial.