La diferencia de cuadrados es el patrón algebraico que permite transformar una resta entre dos cuadrados en el producto de una suma por una diferencia.
La diferencia de cuadrados es uno de los productos notables más importantes. Aparece cuando tenemos una resta entre dos términos que son cuadrados perfectos.
Este patrón sirve tanto para desarrollar multiplicaciones como para factorizar expresiones.
Si multiplicamos una suma por una diferencia con los mismos términos, los términos del medio se cancelan.
Por eso el resultado final contiene solo la diferencia entre los cuadrados.
Para aplicar la diferencia de cuadrados, cada término debe poder escribirse como el cuadrado de otra expresión.
| Expresión | Como cuadrado | Raíz cuadrada |
|---|---|---|
| x² | x² | x |
| 9 | 3² | 3 |
| 16x² | (4x)² | 4x |
| 25y² | (5y)² | 5y |
| 4a²b² | (2ab)² | 2ab |
La expresión x² - 9 es una diferencia de cuadrados porque x² es el cuadrado de x y 9 es el cuadrado de 3.
Podemos comprobar que la forma desarrollada y la forma factorizada producen el mismo resultado.
const x = 8;
const desarrollada = x ** 2 - 9;
const factorizada = (x + 3) * (x - 3);
console.log(desarrollada);
console.log(factorizada);También puede haber coeficientes. Lo importante es que cada término sea un cuadrado perfecto.
const x = 6;
const desarrollada = 4 * x ** 2 - 25;
const factorizada = (2 * x + 5) * (2 * x - 5);
console.log(desarrollada);
console.log(factorizada);El patrón también funciona cuando los términos tienen variables distintas.
const x = 10;
const y = 4;
const desarrollada = x ** 2 - y ** 2;
const factorizada = (x + y) * (x - y);
console.log(desarrollada);
console.log(factorizada);Factorizar una diferencia de cuadrados puede ayudar a simplificar fracciones algebraicas.
La restricción x ≠ 3 es necesaria porque el denominador original no puede ser cero.
Cuando una simplificación implica dividir, debemos controlar que el divisor no sea cero.
const x = 3;
const divisor = x - 3;
if (divisor !== 0) {
const resultado = (x ** 2 - 9) / divisor;
console.log(resultado);
} else {
console.log("No se puede dividir por cero");
}Aunque la expresión simplificada sea x + 3, la expresión original no permite usar x = 3.
Para aplicar el patrón deben cumplirse dos condiciones: debe haber una resta y ambos términos deben ser cuadrados perfectos.
| Expresión | ¿Es diferencia de cuadrados? | Motivo |
|---|---|---|
| x² - 16 | Sí | x² y 16 son cuadrados |
| x² + 16 | No | Es suma, no diferencia |
| x² - 7 | No en forma básica | 7 no es cuadrado perfecto entero |
| 9x² - 25y² | Sí | Son (3x)² y (5y)² |
La diferencia de cuadrados también sirve para hacer algunos cálculos mentales o transformar operaciones.
const resultado1 = 101 * 99;
const resultado2 = 100 ** 2 - 1 ** 2;
console.log(resultado1);
console.log(resultado2);Podemos encapsular el patrón en una función cuando necesitamos usarlo repetidamente.
function diferenciaDeCuadrados(a, b) {
return (a + b) * (a - b);
}
console.log(diferenciaDeCuadrados(10, 3));
console.log(diferenciaDeCuadrados(50, 2));La función calcula a² - b² usando la forma factorizada.
La diferencia de cuadrados es un patrón simple pero muy poderoso. Permite pasar de una resta entre cuadrados a un producto de factores, y también verificar productos de suma por diferencia.
En el próximo tema veremos el cuadrado de un binomio, otro producto notable fundamental para desarrollar y factorizar expresiones.