12. Cuadrado de un binomio

12.1 Introducción

Un binomio es una expresión algebraica con dos términos. Cuando elevamos un binomio al cuadrado, multiplicamos el binomio por sí mismo.

El resultado no se obtiene elevando cada término por separado; aparece un término adicional que representa el producto entre ambos términos.

12.2 Cuadrado de una suma

El cuadrado de una suma se desarrolla así:

La expresión tiene tres partes: el cuadrado del primer término, el doble producto de ambos términos y el cuadrado del segundo término.

12.3 Por qué aparece el término 2ab

Si desarrollamos la multiplicación completa, vemos de dónde sale el término del medio.

El término ab aparece dos veces, por eso se convierte en 2ab.

12.4 Cuadrado de una suma en JavaScript

const a = 6;
const b = 4;

const original = (a + b) ** 2;
const desarrollado = a ** 2 + 2 * a * b + b ** 2;

console.log(original);
console.log(desarrollado);

Las dos formas son equivalentes y producen el mismo resultado.

12.5 Cuadrado de una diferencia

El cuadrado de una diferencia se desarrolla así:

El término del medio es negativo porque uno de los términos del binomio tiene signo menos.

12.6 Cuadrado de una diferencia en JavaScript

const a = 9;
const b = 2;

const original = (a - b) ** 2;
const desarrollado = a ** 2 - 2 * a * b + b ** 2;

console.log(original);
console.log(desarrollado);

12.7 Ejemplo con variable

Si el binomio es x + 5, aplicamos la misma regla.

const x = 3;

const original = (x + 5) ** 2;
const desarrollado = x ** 2 + 10 * x + 25;

console.log(original);
console.log(desarrollado);

12.8 Ejemplo con coeficiente

Cuando un término tiene coeficiente, debemos elevar todo el término al cuadrado.

const x = 4;

const original = (2 * x + 3) ** 2;
const desarrollado = 4 * x ** 2 + 12 * x + 9;

console.log(original);
console.log(desarrollado);

12.9 Diferencia entre cuadrado de binomio y diferencia de cuadrados

Estos dos productos notables se parecen, pero no son lo mismo.

Confundirlos es uno de los errores más comunes.

12.10 Reconocer un trinomio cuadrado perfecto

El resultado de elevar un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto.

Para reconocerlo, verificamos que el primer y el último término sean cuadrados, y que el término del medio sea el doble producto de sus raíces.

12.11 Factorizar usando el patrón

El cuadrado de un binomio también se puede usar en sentido inverso: pasar de un trinomio a un binomio al cuadrado.

Este proceso será importante cuando estudiemos factorización.

12.12 Aplicación en programación

En programación, el cuadrado de un binomio aparece cuando una cantidad se modifica antes de elevarla al cuadrado. Por ejemplo, al calcular un área a partir de una medida aumentada.

function areaCuadradoConMargen(lado, margen) {
  return (lado + margen) ** 2;
}

console.log(areaCuadradoConMargen(100, 20));

La expresión (lado + margen) ** 2 mantiene clara la idea del problema.

12.13 Errores comunes

• Creer que (a + b)² = a² + b².
• Olvidar el término 2ab.
• Escribir mal el signo del término medio en (a - b)².
• No elevar al cuadrado los coeficientes, como en (2x)² = 4x².
• Confundir (a - b)² con a² - b².

12.14 Qué debes recordar de este tema

• El cuadrado de una suma es (a + b)² = a² + 2ab + b².
• El cuadrado de una diferencia es (a - b)² = a² - 2ab + b².
• El término del medio aparece porque hay dos productos iguales.
• El resultado es un trinomio cuadrado perfecto.
• El patrón puede usarse para desarrollar o factorizar.
• En JavaScript, las potencias se escriben con **.

12.15 Conclusión

El cuadrado de un binomio es un producto notable esencial. Permite desarrollar expresiones con rapidez y reconocer trinomios que pueden escribirse como un binomio al cuadrado.

En el próximo tema veremos el cubo de un binomio, donde el patrón se extiende a potencias de tercer grado.