13. Cubo de un binomio

13.1 Introducción

Elevar un binomio al cubo significa multiplicarlo por sí mismo tres veces. Esta operación produce un polinomio de cuatro términos.

Como ocurre con otros productos notables, conviene reconocer el patrón para evitar desarrollar todo desde cero.

13.2 Cubo de una suma

El cubo de una suma se desarrolla así:

Los coeficientes del desarrollo son 1, 3, 3, 1.

13.3 De dónde sale el patrón

Podemos obtener el cubo de una suma multiplicando primero el cuadrado del binomio por el binomio original.

Los términos semejantes se combinan y forman el patrón final.

13.4 Cubo de una suma en JavaScript

const a = 2;
const b = 5;

const original = (a + b) ** 3;
const desarrollado = a ** 3 + 3 * a ** 2 * b + 3 * a * b ** 2 + b ** 3;

console.log(original);
console.log(desarrollado);

La forma compacta y la desarrollada son equivalentes.

13.5 Cubo de una diferencia

El cubo de una diferencia se desarrolla así:

Los signos se alternan porque el segundo término del binomio es negativo.

13.6 Cubo de una diferencia en JavaScript

const a = 9;
const b = 4;

const original = (a - b) ** 3;
const desarrollado = a ** 3 - 3 * a ** 2 * b + 3 * a * b ** 2 - b ** 3;

console.log(original);
console.log(desarrollado);

13.7 Ejemplo con variable

Si el binomio es x + 3, aplicamos la regla del cubo de una suma.

const x = 4;

const original = (x + 3) ** 3;
const desarrollado = x ** 3 + 9 * x ** 2 + 27 * x + 27;

console.log(original);
console.log(desarrollado);

13.8 Ejemplo con coeficiente

Cuando los términos tienen coeficientes, debemos elevar cada término completo.

const x = 3;

const original = (2 * x + 1) ** 3;
const desarrollado = 8 * x ** 3 + 12 * x ** 2 + 6 * x + 1;

console.log(original);
console.log(desarrollado);

13.9 Signos en el cubo de una diferencia

En el cubo de una diferencia, los signos del desarrollo son: positivo, negativo, positivo, negativo.

Por ejemplo:

13.10 Resumen de fórmulas

13.11 Aplicación en programación

El cubo de un binomio puede aparecer al calcular volúmenes cuando una medida se modifica antes de elevarla al cubo.

function volumenCuboConMargen(lado, margen) {
  return (lado + margen) ** 3;
}

console.log(volumenCuboConMargen(10, 2));

La forma (lado + margen) ** 3 comunica directamente que estamos elevando al cubo una medida modificada.

13.12 Verificar con varios valores

Podemos crear una función para comprobar que el patrón funciona para distintos valores.

function verificarCuboSuma(a, b) {
  const original = (a + b) ** 3;
  const desarrollado = a ** 3 + 3 * a ** 2 * b + 3 * a * b ** 2 + b ** 3;

  return original === desarrollado;
}

console.log(verificarCuboSuma(1, 2));
console.log(verificarCuboSuma(5, 3));
console.log(verificarCuboSuma(-4, 7));

13.13 Errores comunes

• Creer que (a + b)³ = a³ + b³.
• Olvidar los términos 3a²b y 3ab².
• Equivocarse con los signos en (a - b)³.
• No elevar al cubo los coeficientes, como en (2x)³ = 8x³.
• Usar ^ en JavaScript en lugar de **.

13.14 Qué debes recordar de este tema

• El cubo de una suma es (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
• El cubo de una diferencia es (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
• Los coeficientes del patrón son 1, 3, 3, 1.
• En la diferencia, los signos se alternan.
• Cuando hay coeficientes, se eleva todo el término.
• En JavaScript, el operador de potencia es **.

13.15 Conclusión

El cubo de un binomio permite desarrollar expresiones de tercer grado mediante un patrón fijo. Reconocerlo ayuda a evitar errores y prepara el camino para factorizaciones más avanzadas.

En el próximo tema veremos factorización: concepto y aplicaciones, donde aprenderemos a escribir expresiones como productos de factores.