Factorizar consiste en escribir una expresión como un producto de factores. Esta transformación permite simplificar fórmulas, resolver ecuaciones y reconocer estructuras algebraicas.
La factorización es el proceso inverso al desarrollo. Cuando desarrollamos, pasamos de un producto a una suma. Cuando factorizamos, pasamos de una suma o resta a un producto.
Ambas formas son equivalentes, pero cada una puede ser más útil según el problema.
Un factor es una parte de una multiplicación. Por ejemplo, en 3 × 5, los factores son 3 y 5.
En álgebra, los factores pueden ser números, variables o expresiones completas.
En esta expresión, los factores son 2, x y x + 4.
Antes de factorizar expresiones algebraicas, conviene recordar la factorización de números.
La última forma usa factores primos. En álgebra aplicamos una idea similar, pero con variables y expresiones.
Factorizar una expresión algebraica significa encontrar un producto equivalente.
El número 5 es factor común de los dos términos. Al extraerlo, queda una expresión más estructurada.
const x = 7;
const desarrollada = 5 * x + 10;
const factorizada = 5 * (x + 2);
console.log(desarrollada);
console.log(factorizada);Desarrollar y factorizar son operaciones inversas.
| Operación | Transformación | Ejemplo |
|---|---|---|
| Desarrollar | Producto a suma | 2(x + 3) = 2x + 6 |
| Factorizar | Suma a producto | 2x + 6 = 2(x + 3) |
Factorizar sirve para revelar la estructura de una expresión. En muchos casos, una expresión factorizada es más útil que una expresión desarrollada.
Una expresión factorizada puede permitir cancelar factores comunes en una fracción algebraica.
La factorización hace visible el factor que se puede simplificar.
Cuando una ecuación está factorizada e igualada a cero, podemos usar la propiedad del producto nulo.
Para que el producto sea cero, al menos uno de los factores debe valer cero:
Podemos verificar que los valores encontrados hacen que el producto sea cero.
function expresion(x) {
return (x - 2) * (x + 5);
}
console.log(expresion(2));
console.log(expresion(-5));
console.log(expresion(0));Los valores 2 y -5 son raíces porque hacen que la expresión valga cero.
Existen varios métodos. En los próximos temas veremos los más importantes paso a paso.
| Método | Idea principal | Ejemplo |
|---|---|---|
| Factor común | Extraer un factor que aparece en todos los términos | 6x + 12 = 6(x + 2) |
| Agrupación | Agrupar términos para encontrar factores comunes | ax + ay + bx + by |
| Diferencia de cuadrados | Usar a² - b² = (a + b)(a - b) | x² - 16 = (x + 4)(x - 4) |
| Trinomio cuadrado perfecto | Reconocer el resultado de un binomio al cuadrado | x² + 6x + 9 = (x + 3)² |
A veces factorizar una expresión permite escribir código con menos repetición.
const precio = 100;
const cantidad = 5;
const impuesto = 0.21;
const totalSinFactorizar = precio * cantidad + precio * cantidad * impuesto;
const totalFactorizado = precio * cantidad * (1 + impuesto);
console.log(totalSinFactorizar);
console.log(totalFactorizado);La segunda forma evita repetir precio * cantidad.
No siempre la forma factorizada es mejor que la desarrollada. Depende de lo que queremos hacer.
| Forma | Conviene cuando | Ejemplo |
|---|---|---|
| Desarrollada | Queremos ver términos, coeficientes y grado | x² + 5x + 6 |
| Factorizada | Queremos ver factores, raíces o simplificar | (x + 2)(x + 3) |
La factorización es una herramienta central del álgebra. Permite pasar de una expresión desarrollada a una forma multiplicativa que puede ser más útil para simplificar, resolver o interpretar un problema.
En el próximo tema veremos factor común, el método de factorización más básico y uno de los más utilizados.