16. Factor común por agrupación

16.1 Introducción

En el tema anterior vimos cómo extraer un factor común cuando aparece en todos los términos. Pero algunas expresiones no tienen un factor común visible al principio.

En esos casos, podemos agrupar términos para extraer factores comunes parciales y luego obtener un factor común más grande.

16.2 Idea principal

La idea de la agrupación es separar la expresión en grupos de términos. En cada grupo extraemos un factor común. Si después aparece un mismo paréntesis, podemos factorizar nuevamente.

16.3 Primer ejemplo

Factoricemos la expresión:

Agrupamos los primeros dos términos y los últimos dos:

16.4 Agrupación con dos factores

Un ejemplo más habitual deja dos factores no numéricos.

El factor común final es el paréntesis (x + y).

16.5 Verificación con JavaScript

Podemos verificar que la expresión original y la factorizada producen el mismo resultado.

const a = 2;
const b = 5;
const x = 3;
const y = 7;

const original = a * x + a * y + b * x + b * y;
const factorizada = (a + b) * (x + y);

console.log(original);
console.log(factorizada);

16.6 Pasos para factorizar por agrupación

1. Observar si la expresión tiene varios términos, generalmente cuatro.
2. Agrupar términos que tengan factores comunes.
3. Extraer factor común en cada grupo.
4. Verificar si aparece un mismo paréntesis en todos los grupos.
5. Extraer ese paréntesis como factor común.
6. Comprobar desarrollando la expresión factorizada.

16.7 Ejemplo con números y variables

Factoricemos:

Podemos agrupar así:

16.8 Verificación del ejemplo

const x = 4;
const y = 2;

const original = 6 * x + 9 + 4 * x * y + 6 * y;
const factorizada = (3 + 2 * y) * (2 * x + 3);

console.log(original);
console.log(factorizada);

Si los resultados coinciden para distintos valores, la factorización está bien orientada.

16.9 Agrupación con signos negativos

Cuando hay signos negativos, puede ser necesario extraer un factor negativo para que los paréntesis coincidan.

En este caso los paréntesis ya coinciden sin extraer un negativo.

16.10 Cuando hay que extraer un negativo

Observemos este caso:

El signo menos se mantiene como parte del segundo factor exterior.

16.11 Reordenar términos

A veces los términos no están en un orden conveniente. Podemos reordenarlos para agrupar mejor.

Reordenar no cambia el valor de la expresión si respetamos los signos.

16.12 Aplicación en programación

La agrupación se parece a detectar partes repetidas en una fórmula para evitar duplicación.

const ancho = 10;
const alto = 5;
const margenX = 2;
const margenY = 3;

const sinAgrupar = ancho * alto + ancho * margenY + margenX * alto + margenX * margenY;
const agrupado = (ancho + margenX) * (alto + margenY);

console.log(sinAgrupar);
console.log(agrupado);

La forma agrupada comunica mejor que se está calculando un área con ancho y alto modificados.

16.13 Errores comunes

• Agrupar términos sin respetar los signos.
• Extraer factores comunes parciales que no producen el mismo paréntesis.
• Olvidar extraer el factor común final después de agrupar.
• No reordenar términos cuando el orden original dificulta la agrupación.
• No verificar el resultado desarrollando la factorización.

16.14 Qué debes recordar de este tema

• La agrupación se usa cuando no hay un factor común directo en todos los términos.
• Se agrupan términos que sí tienen factores comunes parciales.
• Después de factorizar cada grupo, debe aparecer un paréntesis común.
• Ese paréntesis común se extrae como factor.
• Los signos deben respetarse durante todo el proceso.
• La verificación se hace desarrollando la expresión factorizada.

16.15 Conclusión

El factor común por agrupación amplía la técnica de factor común. Permite factorizar expresiones donde el factor compartido no aparece al principio, pero surge al organizar los términos adecuadamente.

En el próximo tema volveremos a la diferencia de cuadrados, ahora enfocada como método de factorización.