Como método de factorización, la diferencia de cuadrados permite transformar una resta entre dos cuadrados perfectos en el producto de una suma por una diferencia.
Ya vimos la diferencia de cuadrados como producto notable. Ahora la usaremos como técnica de factorización.
La clave es reconocer cuándo una expresión tiene la forma de una resta entre dos cuadrados perfectos.
Para factorizar por diferencia de cuadrados deben cumplirse dos condiciones.
| Término | Como cuadrado | Raíz |
|---|---|---|
| x² | x² | x |
| 36 | 6² | 6 |
| 9x² | (3x)² | 3x |
| 16a²b² | (4ab)² | 4ab |
Factoricemos:
El primer cuadrado es x² y el segundo es 4².
const x = 10;
const original = x ** 2 - 16;
const factorizada = (x + 4) * (x - 4);
console.log(original);
console.log(factorizada);La forma original y la factorizada deben producir el mismo resultado para cualquier valor permitido de x.
Cuando hay coeficientes, buscamos si pueden escribirse como cuadrados.
const x = 3;
const original = 25 * x ** 2 - 49;
const factorizada = (5 * x + 7) * (5 * x - 7);
console.log(original);
console.log(factorizada);El método también funciona con dos variables.
const x = 5;
const y = 2;
const original = 9 * x ** 2 - 16 * y ** 2;
const factorizada = (3 * x + 4 * y) * (3 * x - 4 * y);
console.log(original);
console.log(factorizada);A veces primero hay que extraer un factor común y después aplicar diferencia de cuadrados.
Primero se extrajo 3 y luego se factorizó x² - 25.
Factorizar por diferencia de cuadrados puede mostrar factores que se pueden simplificar.
La restricción es necesaria porque el denominador original no puede ser cero.
const x = 6;
const denominador = x - 6;
if (denominador !== 0) {
console.log((x ** 2 - 36) / denominador);
} else {
console.log("Valor no permitido: división por cero");
}Al simplificar una expresión, no debemos olvidar las restricciones de la expresión original.
| Expresión | ¿Aplica? | Motivo |
|---|---|---|
| x² - 81 | Sí | Es resta de cuadrados |
| x² + 81 | No | Es suma |
| x³ - 8 | No como diferencia de cuadrados | Es diferencia de cubos |
| 12x² - 20 | Primero factor común | Se puede extraer 4 |
Reconocer este patrón ayuda a reescribir cálculos de forma más clara o a evitar operaciones repetidas.
function diferenciaCuadrados(a, b) {
return (a + b) * (a - b);
}
console.log(diferenciaCuadrados(100, 1));
console.log(diferenciaCuadrados(20, 5));La función calcula a² - b² usando su forma factorizada.
La diferencia de cuadrados es una técnica de factorización directa y frecuente. Reconocer cuadrados perfectos y respetar los signos permite aplicarla con seguridad.
En el próximo tema veremos trinomio cuadrado perfecto, otro patrón importante para factorizar expresiones algebraicas.