Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de elevar un binomio al cuadrado. Reconocerlo permite factorizar expresiones de forma rápida y segura.
Un trinomio tiene tres términos. Se llama trinomio cuadrado perfecto cuando puede escribirse como el cuadrado de un binomio.
Este patrón es el proceso inverso al cuadrado de un binomio.
Cuando desarrollamos un binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio.
Por eso, al factorizar, buscamos reconocer si un trinomio proviene de una de estas formas.
Un trinomio cuadrado perfecto cumple estas condiciones:
Factoricemos:
El signo del término del medio indica que el binomio tiene suma.
const x = 4;
const original = x ** 2 + 10 * x + 25;
const factorizada = (x + 5) ** 2;
console.log(original);
console.log(factorizada);Ambas formas producen el mismo resultado.
Si el término del medio es negativo, el binomio tiene resta.
const x = 9;
const original = x ** 2 - 12 * x + 36;
const factorizada = (x - 6) ** 2;
console.log(original);
console.log(factorizada);Cuando el primer término tiene coeficiente, debemos identificar correctamente su raíz.
const x = 5;
const original = 4 * x ** 2 + 12 * x + 9;
const factorizada = (2 * x + 3) ** 2;
console.log(original);
console.log(factorizada);El patrón también puede incluir dos variables.
El criterio sigue siendo el mismo: cuadrados en los extremos y doble producto en el medio.
El primer y el tercer término son positivos porque son cuadrados. El signo del término medio determina si el binomio usa suma o resta.
| Trinomio | Factorización | Signo del binomio |
|---|---|---|
| x² + 8x + 16 | (x + 4)² | Suma |
| x² - 8x + 16 | (x - 4)² | Resta |
Debemos verificar el término del medio. No alcanza con que el primer y tercer término sean cuadrados.
El primer término es x² y el tercero es 9 = 3², pero el doble producto sería 2 · x · 3 = 6x, no 8x. Por lo tanto, no es trinomio cuadrado perfecto.
Factorizar un trinomio cuadrado perfecto puede ayudar a resolver ecuaciones.
Como un cuadrado vale cero solo cuando su base vale cero, la solución es directa.
En programación, esta forma puede aparecer al calcular distancias, errores cuadráticos o áreas modificadas.
function errorCuadratico(valor, esperado) {
return (valor - esperado) ** 2;
}
console.log(errorCuadratico(12, 10));
console.log(errorCuadratico(7, 10));La expresión (valor - esperado)² desarrolla un trinomio cuadrado perfecto si se expande.
El trinomio cuadrado perfecto es un patrón muy útil para factorizar expresiones de segundo grado. Reconocerlo requiere comprobar los cuadrados de los extremos y el doble producto del término central.
En el próximo tema veremos trinomio de segundo grado, una forma más general que no siempre corresponde a un cuadrado perfecto.