19. Trinomio de segundo grado

19.1 Introducción

Un trinomio de segundo grado es una expresión de la forma:

Donde a, b y c son coeficientes, y a no puede ser cero. Si a fuera cero, ya no habría término cuadrático.

19.2 Partes del trinomio

19.3 Caso simple: a = 1

Cuando el coeficiente de x² es 1, buscamos dos números que multiplicados den c y sumados den b.

Buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5. Esos números son 2 y 3.

19.4 Verificación en JavaScript

const x = 4;

const original = x ** 2 + 5 * x + 6;
const factorizada = (x + 2) * (x + 3);

console.log(original);
console.log(factorizada);

19.5 Caso con signos positivos y negativos

Si el término constante es negativo, los factores tienen signos distintos.

Buscamos dos números que multiplicados den -12 y sumados den 1. Esos números son 4 y -3.

const x = 10;

const original = x ** 2 + x - 12;
const factorizada = (x + 4) * (x - 3);

console.log(original);
console.log(factorizada);

19.6 Cuando b es negativo

Si b es negativo y c es positivo, ambos números suelen ser negativos.

Buscamos dos números que multiplicados den 12 y sumados den -7. Esos números son -3 y -4.

19.7 Caso general: a distinto de 1

Cuando el coeficiente de x² no es 1, la factorización puede requerir más cuidado.

Una forma factorizada es:

Al desarrollar, obtenemos:

19.8 Verificación del caso general

const x = 5;

const original = 2 * x ** 2 + 7 * x + 3;
const factorizada = (2 * x + 1) * (x + 3);

console.log(original);
console.log(factorizada);

19.9 Relación con raíces

Si un trinomio se factoriza como (x - r1)(x - r2), sus raíces son r1 y r2.

Las raíces son x = 2 y x = 3, porque hacen que algún factor valga cero.

19.10 Evaluar raíces con JavaScript

function f(x) {
  return x ** 2 - 5 * x + 6;
}

console.log(f(2));
console.log(f(3));
console.log(f(4));

Cuando la función devuelve cero, encontramos una raíz del trinomio.

19.11 No siempre se factoriza fácilmente

No todos los trinomios de segundo grado se factorizan con números enteros simples.

No existen dos números enteros que multiplicados den 1 y sumados den 1. Para estos casos se pueden usar otros métodos, como la fórmula cuadrática, que veremos más adelante al estudiar ecuaciones.

19.12 Aplicación en programación

Los trinomios de segundo grado aparecen en modelos cuadráticos, trayectorias, gráficos, optimización y simulaciones.

function altura(t) {
  return -5 * t ** 2 + 20 * t + 2;
}

for (let t = 0; t <= 4; t++) {
  console.log(t, altura(t));
}

La función calcula una altura aproximada según el tiempo, usando un trinomio de segundo grado.

19.13 Errores comunes

• Buscar números que solo sumen b y olvidar que también deben multiplicar c.
• Descuidar los signos cuando c es negativo.
• Tratar todos los trinomios como si a fuera 1.
• Confundir un trinomio cuadrado perfecto con un trinomio general.
• Asumir que todos los trinomios se factorizan con números enteros.

19.14 Qué debes recordar de este tema

• Un trinomio de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c.
• Si a = 1, buscamos dos números que sumen b y multipliquen c.
• Si a no es 1, hay que considerar también el coeficiente del término cuadrático.
• La forma factorizada permite encontrar raíces.
• No todos los trinomios se factorizan fácilmente con enteros.
• En programación, los trinomios modelan relaciones cuadráticas.

19.15 Conclusión

Los trinomios de segundo grado son fundamentales para comprender funciones cuadráticas, ecuaciones y modelos no lineales. Factorizarlos ayuda a interpretar sus raíces y su comportamiento.

En el próximo tema veremos simplificación de expresiones algebraicas, donde combinaremos varias técnicas aprendidas hasta ahora.