22. Operaciones con fracciones algebraicas

22.1 Introducción

Las operaciones con fracciones algebraicas siguen las mismas ideas que las operaciones con fracciones numéricas. La diferencia es que ahora los numeradores y denominadores pueden contener variables y expresiones.

Por eso, además de operar correctamente, debemos cuidar los valores que hacen cero a los denominadores.

22.2 Restricciones antes de operar

Antes de sumar, restar, multiplicar o dividir, debemos identificar los valores no permitidos.

Las restricciones de las expresiones originales deben conservarse aunque luego se simplifique.

22.3 Suma con igual denominador

Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, se suman los numeradores y se mantiene el denominador.

22.4 Suma con igual denominador en JavaScript

function sumar(x) {
  const denominador = x + 1;

  if (denominador === 0) {
    return "x = -1 no está permitido";
  }

  return 2 / denominador + 3 / denominador;
}

console.log(sumar(4));
console.log(sumar(-1));

22.5 Resta con igual denominador

Para restar fracciones con igual denominador, se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Es importante restar todo el numerador, respetando signos y paréntesis.

22.6 Suma con distinto denominador

Cuando los denominadores son distintos, buscamos un denominador común.

Las restricciones son x ≠ 0 y y ≠ 0.

22.7 Suma con distinto denominador en JavaScript

function sumarFracciones(x, y) {
  if (x === 0 || y === 0) {
    return "Los denominadores no pueden ser cero";
  }

  const original = 1 / x + 1 / y;
  const comun = (x + y) / (x * y);

  return { original, comun };
}

console.log(sumarFracciones(2, 5));
console.log(sumarFracciones(0, 5));

22.8 Multiplicación de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas, se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí.

Ejemplo:

22.9 Multiplicación en JavaScript

function multiplicar(x) {
  if (x === 0) {
    return "x = 0 no está permitido";
  }

  const original = (x / 3) * (6 / x);
  const simplificada = 2;

  return { original, simplificada };
}

console.log(multiplicar(4));
console.log(multiplicar(0));

22.10 División de fracciones algebraicas

Dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inversa.

Además de los denominadores originales, el divisor completo no puede ser cero.

22.11 Simplificar antes o después

En multiplicaciones y divisiones, suele convenir factorizar y simplificar antes de multiplicar todo.

Las restricciones originales se conservan.

22.12 Aplicación en programación

Las operaciones con fracciones aparecen al combinar tasas, proporciones, promedios ponderados y normalizaciones.

function promedioPonderado(valor1, peso1, valor2, peso2) {
  const sumaPesos = peso1 + peso2;

  if (sumaPesos === 0) {
    return "La suma de pesos no puede ser cero";
  }

  return (valor1 * peso1 + valor2 * peso2) / sumaPesos;
}

console.log(promedioPonderado(8, 2, 10, 3));
console.log(promedioPonderado(8, 0, 10, 0));

22.13 Errores comunes

• Sumar denominadores en lugar de buscar un denominador común.
• Olvidar paréntesis al sumar o restar numeradores.
• Cancelar términos sueltos en lugar de factores.
• Dividir fracciones sin invertir la segunda fracción.
• Perder restricciones después de simplificar.

22.14 Qué debes recordar de este tema

• Las restricciones se identifican antes de operar.
• Con igual denominador, se operan numeradores y se conserva el denominador.
• Con distinto denominador, se busca un denominador común.
• Para multiplicar, se multiplican numeradores y denominadores.
• Para dividir, se multiplica por la fracción inversa.
• Se cancelan factores completos, no términos sueltos.

22.15 Conclusión

Operar con fracciones algebraicas requiere combinar reglas de fracciones, factorización y restricciones. En programación, estas ideas ayudan a escribir cálculos con divisiones de forma segura.

En el próximo tema veremos potencias y propiedades de los exponentes, herramientas necesarias para simplificar expresiones con potencias.