23. Potencias y propiedades de los exponentes

23.1 Introducción

Una potencia expresa una multiplicación repetida. Por ejemplo, x³ significa x · x · x.

En JavaScript, el operador de potencia es **.

23.2 Potencias en JavaScript

console.log(2 ** 3);
console.log(5 ** 2);
console.log(10 ** 0);

La expresión 2 ** 3 significa 2 elevado a 3.

23.3 Producto de potencias de igual base

Cuando multiplicamos potencias con la misma base, sumamos los exponentes.

const x = 2;

const original = x ** 2 * x ** 3;
const simplificada = x ** 5;

console.log(original);
console.log(simplificada);

23.4 Cociente de potencias de igual base

Cuando dividimos potencias con la misma base, restamos los exponentes.

const x = 3;

const original = x ** 5 / x ** 2;
const simplificada = x ** 3;

console.log(original);
console.log(simplificada);

23.5 Potencia de una potencia

Cuando una potencia se eleva a otra potencia, se multiplican los exponentes.

const x = 2;

const original = (x ** 2) ** 3;
const simplificada = x ** 6;

console.log(original);
console.log(simplificada);

23.6 Potencia de un producto

Cuando un producto se eleva a una potencia, cada factor se eleva a esa potencia.

const x = 4;

const original = (2 * x) ** 3;
const simplificada = 8 * x ** 3;

console.log(original);
console.log(simplificada);

23.7 Potencia de un cociente

Cuando un cociente se eleva a una potencia, el numerador y el denominador se elevan a esa potencia.

const a = 6;
const b = 3;

const original = (a / b) ** 2;
const simplificada = a ** 2 / b ** 2;

console.log(original);
console.log(simplificada);

23.8 Exponente cero

Todo número o expresión distinta de cero elevada a cero vale 1.

console.log(7 ** 0);
console.log((-3) ** 0);

La restricción a ≠ 0 evita el caso indeterminado 0⁰ en álgebra.

23.9 Exponentes negativos

Un exponente negativo indica el inverso de una potencia.

const x = 4;

const original = x ** -2;
const equivalente = 1 / x ** 2;

console.log(original);
console.log(equivalente);

23.10 Resumen de propiedades

23.11 Aplicación en programación

Las potencias aparecen al calcular áreas, volúmenes, distancias, crecimiento y modelos de datos.

function distanciaCuadrada(x1, y1, x2, y2) {
  const dx = x2 - x1;
  const dy = y2 - y1;

  return dx ** 2 + dy ** 2;
}

console.log(distanciaCuadrada(0, 0, 3, 4));

La distancia cuadrada evita calcular una raíz cuando solo necesitamos comparar distancias.

23.12 Validar bases en divisiones

Cuando usamos exponentes negativos o cocientes de potencias, la base no puede ser cero.

function inversoCuadrado(x) {
  if (x === 0) {
    return "x no puede ser cero";
  }

  return x ** -2;
}

console.log(inversoCuadrado(5));
console.log(inversoCuadrado(0));

23.13 Errores comunes

• Sumar exponentes cuando las bases son distintas.
• Multiplicar exponentes en un producto en lugar de sumarlos.
• Olvidar que a⁰ = 1 solo se usa con a ≠ 0.
• Interpretar un exponente negativo como un número negativo.
• Usar ^ en JavaScript en lugar de **.

23.14 Qué debes recordar de este tema

• Una potencia representa una multiplicación repetida.
• Al multiplicar potencias de igual base, se suman exponentes.
• Al dividir potencias de igual base, se restan exponentes.
• Al elevar una potencia a otra potencia, se multiplican exponentes.
• Un exponente negativo representa un inverso.
• En JavaScript, el operador de potencia es **.

23.15 Conclusión

Las propiedades de los exponentes permiten simplificar expresiones con potencias y evitar cálculos innecesarios. También son esenciales para comprender radicales, funciones y modelos matemáticos.

En el próximo tema veremos radicales y propiedades, que están estrechamente relacionados con potencias y exponentes fraccionarios.