29. Ecuaciones con fracciones

29.1 Introducción

Una ecuación con fracciones contiene una o más expresiones divididas por números o por expresiones algebraicas.

El objetivo sigue siendo despejar la incógnita, pero ahora debemos cuidar los denominadores.

29.2 Revisar restricciones

Antes de operar, identificamos los valores que hacen cero a cualquier denominador.

Si un valor no está permitido, no puede ser solución aunque aparezca durante el cálculo.

29.3 Fracción con denominador numérico

Resolvamos:

Multiplicamos por 3 para eliminar el denominador.

29.4 Verificación en JavaScript

const x = 18;

const ladoIzquierdo = x / 3 + 2;
const ladoDerecho = 8;

console.log(ladoIzquierdo === ladoDerecho);

29.5 Multiplicar por el denominador común

Cuando hay varias fracciones, podemos multiplicar toda la ecuación por un denominador común.

El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6. Multiplicamos toda la ecuación por 6:

29.6 Comprobación del denominador común

const x = 6;

const ladoIzquierdo = x / 2 + x / 3;
const ladoDerecho = 5;

console.log(ladoIzquierdo);
console.log(ladoDerecho);
console.log(ladoIzquierdo === ladoDerecho);

29.7 Fracciones en ambos miembros

Si hay fracciones en ambos miembros, también podemos multiplicar por un denominador común.

Otra forma es multiplicar en cruz cuando hay una fracción igualada a otra fracción.

29.8 Multiplicación cruzada

Si tenemos una proporción, podemos multiplicar cruzado.

Ejemplo:

29.9 Denominador con variable

Cuando el denominador contiene la incógnita, primero anotamos restricciones.

La solución 7/2 no viola la restricción, por lo tanto es válida.

29.10 Verificar una ecuación con denominador variable

const x = 7 / 2;

if (x !== 2) {
  const ladoIzquierdo = (x + 1) / (x - 2);
  const ladoDerecho = 3;

  console.log(ladoIzquierdo);
  console.log(ladoDerecho);
  console.log(ladoIzquierdo === ladoDerecho);
}

29.11 Soluciones no permitidas

A veces el proceso algebraico puede producir un valor que no está permitido por el denominador original.

La igualdad parece verdadera, pero x = 2 no está permitido porque anula el denominador.

29.12 Aplicación en programación

En programación, las ecuaciones con fracciones aparecen cuando despejamos tasas, proporciones o promedios.

function calcularCantidad(total, promedio) {
  if (promedio === 0) {
    return "El promedio no puede ser cero";
  }

  return total / promedio;
}

console.log(calcularCantidad(240, 30));
console.log(calcularCantidad(240, 0));

El control evita dividir por cero al despejar.

29.13 Errores comunes

• Olvidar revisar restricciones antes de resolver.
• Multiplicar solo algunos términos por el denominador común.
• Aplicar multiplicación cruzada cuando no hay una proporción.
• Perder paréntesis al eliminar denominadores.
• Aceptar soluciones que anulan algún denominador original.

29.14 Qué debes recordar de este tema

• En ecuaciones con fracciones, primero se identifican restricciones.
• Los denominadores no pueden ser cero.
• Podemos eliminar fracciones multiplicando por un denominador común.
• En proporciones, se puede usar multiplicación cruzada.
• Las soluciones deben verificarse en la ecuación original.
• Una solución que anula un denominador no es válida.

29.15 Conclusión

Las ecuaciones con fracciones se resuelven despejando como cualquier ecuación, pero con cuidado adicional sobre denominadores y restricciones. Validar la solución en la ecuación original es obligatorio.

En el próximo tema veremos ecuaciones con paréntesis, donde aplicaremos la propiedad distributiva antes de despejar.