31. Ecuaciones con potencias y raíces

31.1 Introducción

Hasta ahora resolvimos ecuaciones de primer grado. En este tema aparecen potencias y raíces, por lo que necesitaremos usar operaciones inversas.

Estas ecuaciones pueden tener más de una solución o requerir restricciones.

31.2 Potencias y raíces como operaciones inversas

Elevar al cuadrado y calcular raíz cuadrada son operaciones relacionadas, pero no siempre se cancelan sin cuidado.

Esto ocurre porque tanto 5² como (-5)² valen 25.

31.3 Ecuación con cuadrado

Resolvamos:

El símbolo ± indica que aparecen dos posibilidades.

31.4 Verificación en JavaScript

const soluciones = [6, -6];

for (const x of soluciones) {
  console.log(x, x ** 2 === 36);
}

31.5 Ecuación con potencia y desplazamiento

Primero despejamos la potencia y luego aplicamos raíz.

Siempre conviene aislar la potencia antes de aplicar la raíz.

31.6 Ecuación con raíz cuadrada

Para eliminar una raíz cuadrada, elevamos ambos miembros al cuadrado.

La raíz cuadrada principal siempre devuelve un valor no negativo.

31.7 Verificación de una raíz

const x = 25;

console.log(Math.sqrt(x) === 5);

31.8 Restricciones con raíces

En los números reales, el radicando de una raíz cuadrada debe ser mayor o igual que cero.

Estas restricciones deben revisarse antes de aceptar soluciones.

31.9 Ecuación con raíz y desplazamiento

Resolvamos:

La solución cumple la restricción x ≥ 3.

const x = 19;

console.log(Math.sqrt(x - 3) === 4);

31.10 Soluciones extrañas

Al elevar ambos miembros al cuadrado pueden aparecer soluciones que no sirven en la ecuación original. Por eso siempre hay que verificar.

No tiene solución real, porque una raíz cuadrada principal no puede ser negativa.

31.11 Ecuaciones con raíz cúbica

Las raíces cúbicas admiten números negativos en los reales.

const x = -8;

console.log(Math.cbrt(x) === -2);

31.12 Aplicación en programación

Las ecuaciones con potencias y raíces aparecen en geometría, física, gráficos, videojuegos y simulaciones.

function radioDesdeArea(area) {
  if (area < 0) {
    return "El área no puede ser negativa";
  }

  return Math.sqrt(area / Math.PI);
}

console.log(radioDesdeArea(314.1592653589793));
console.log(radioDesdeArea(-10));

La función despeja el radio desde la fórmula área = πr².

31.13 Errores comunes

• Olvidar la solución negativa en ecuaciones como x² = 25.
• Aceptar soluciones sin verificar en la ecuación original.
• Aplicar raíz cuadrada a valores negativos en los reales.
• Creer que √x puede ser negativo.
• No aislar la potencia o la raíz antes de aplicar la operación inversa.

31.14 Qué debes recordar de este tema

• Las raíces y potencias son operaciones relacionadas.
• Una ecuación cuadrática simple puede tener dos soluciones.
• La raíz cuadrada principal no devuelve valores negativos.
• Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones extrañas.
• Las restricciones del radicando deben revisarse.
• En JavaScript usamos **, Math.sqrt y Math.cbrt.

31.15 Conclusión

Las ecuaciones con potencias y raíces requieren usar operaciones inversas con cuidado. Verificar las soluciones no es opcional, especialmente cuando se elevan ambos miembros al cuadrado.

En el próximo tema veremos inecuaciones de primer grado, donde trabajaremos con desigualdades en lugar de igualdades.