Un sistema de ecuaciones lineales reúne varias ecuaciones que deben cumplirse al mismo tiempo. Resolverlo significa encontrar valores que satisfacen todas las ecuaciones del sistema.
Un sistema de ecuaciones lineales aparece cuando tenemos varias condiciones sobre las mismas incógnitas.
Buscamos valores de x e y que hagan verdaderas ambas ecuaciones a la vez.
Resolver un sistema no consiste en resolver cada ecuación por separado. La solución debe funcionar en todas las ecuaciones simultáneamente.
Por lo tanto, (6, 4) es solución del sistema.
Un sistema 2x2 tiene dos ecuaciones y dos incógnitas.
Este tipo de sistema es muy común en álgebra y en aplicaciones de programación.
Podemos verificar si un par de valores cumple un sistema.
const x = 6;
const y = 4;
const ecuacion1 = x + y === 10;
const ecuacion2 = x - y === 2;
console.log(ecuacion1);
console.log(ecuacion2);
console.log(ecuacion1 && ecuacion2);La solución es válida solo si ambas ecuaciones son verdaderas.
Un sistema puede verse como un conjunto de condiciones que deben cumplirse al mismo tiempo.
En programación, esto se parece a validar varias reglas con un operador lógico &&.
Problema: se compran 2 productos A y 1 producto B por 110. También se compra 1 producto A y 1 producto B por 70. ¿Cuánto cuesta cada producto?
La solución es a = 40 y b = 30.
const a = 40;
const b = 30;
const compra1 = 2 * a + b === 110;
const compra2 = a + b === 70;
console.log(compra1 && compra2);Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Los veremos en los próximos temas.
| Método | Idea principal |
|---|---|
| Sustitución | Despejar una incógnita y reemplazarla en la otra ecuación |
| Igualación | Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar |
| Reducción | Combinar ecuaciones para eliminar una incógnita |
| Matrices | Representar el sistema mediante arreglos de coeficientes |
Un sistema lineal puede tener distintos tipos de solución.
| Tipo | Descripción | Interpretación geométrica |
|---|---|---|
| Una solución | Hay un único par que cumple el sistema | Rectas que se cortan |
| Ninguna solución | No hay valores que cumplan ambas ecuaciones | Rectas paralelas |
| Infinitas soluciones | Ambas ecuaciones representan la misma relación | Rectas coincidentes |
Este sistema no tiene solución:
La misma suma no puede valer 5 y 8 al mismo tiempo.
Este sistema tiene infinitas soluciones:
La segunda ecuación es solo el doble de la primera. Ambas representan la misma relación.
Los sistemas lineales aparecen al combinar restricciones, ajustar modelos, resolver balances, calcular intersecciones y trabajar con gráficos.
function cumpleSistema(x, y) {
return x + y === 10 && x - y === 2;
}
console.log(cumpleSistema(6, 4));
console.log(cumpleSistema(5, 5));La función evalúa si un par de valores satisface ambas ecuaciones.
Los sistemas de ecuaciones lineales permiten modelar situaciones con varias condiciones al mismo tiempo. Comprender qué significa una solución común es la base para aplicar métodos de resolución.
En el próximo tema veremos el método de sustitución, uno de los procedimientos más directos para resolver sistemas 2x2.