35. Método de sustitución

35.1 Introducción

El método de sustitución es una forma directa de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en despejar una incógnita y usar esa expresión para reemplazarla en la otra ecuación.

Si despejamos x en la primera ecuación, podemos sustituirla en la segunda.

35.2 Idea principal

La sustitución usa una ecuación para expresar una incógnita en función de la otra.

Luego reemplazamos x por 10 - y en la otra ecuación.

35.3 Pasos del método

1. Elegir una ecuación.
2. Despejar una incógnita.
3. Sustituir esa expresión en la otra ecuación.
4. Resolver la ecuación resultante.
5. Reemplazar el valor encontrado para obtener la otra incógnita.
6. Verificar la solución en el sistema original.

35.4 Ejemplo paso a paso

Resolvamos:

Despejamos x en la primera ecuación:

35.5 Sustituir en la segunda ecuación

Reemplazamos x por 10 - y en x - y = 2.

35.6 Calcular la otra incógnita

Ahora usamos y = 4 en el despeje inicial.

La solución del sistema es x = 6, y = 4.

35.7 Verificación en JavaScript

const x = 6;
const y = 4;

const ecuacion1 = x + y === 10;
const ecuacion2 = x - y === 2;

console.log(ecuacion1);
console.log(ecuacion2);
console.log(ecuacion1 && ecuacion2);

35.8 Elegir qué incógnita despejar

Conviene despejar la incógnita que tenga coeficiente 1 o -1, porque el cálculo resulta más simple.

En la primera ecuación es fácil despejar x. En la segunda es fácil despejar y.

35.9 Ejemplo con despeje de y

Resolvamos:

De la segunda ecuación:

Sustituimos en la primera:

35.10 Completar la solución

Reemplazamos x = 3 en y = 3x - 4.

La solución es x = 3, y = 5.

35.11 Verificación del segundo ejemplo

const x = 3;
const y = 5;

const ecuacion1 = x + 2 * y === 13;
const ecuacion2 = 3 * x - y === 4;

console.log(ecuacion1 && ecuacion2);

35.12 Aplicación en programación

La sustitución se parece a reemplazar una variable por una expresión calculada a partir de otra.

function resolverSistema() {
  // Sistema:
  // x + y = 10
  // x - y = 2
  const y = (10 - 2) / 2;
  const x = 10 - y;

  return { x, y };
}

console.log(resolverSistema());

El código refleja los pasos algebraicos del método.

35.13 Errores comunes

• Sustituir en la misma ecuación de la que se despejó y no avanzar.
• Perder paréntesis al reemplazar una expresión.
• Despejar con signos incorrectos.
• Calcular una incógnita y olvidar calcular la otra.
• No verificar la solución en las dos ecuaciones originales.

35.14 Qué debes recordar de este tema

• El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación.
• La expresión despejada se reemplaza en la otra ecuación.
• Conviene despejar variables con coeficiente 1 o -1.
• Los paréntesis son importantes al sustituir expresiones.
• Después de hallar una incógnita, se calcula la otra.
• La solución debe verificarse en todo el sistema.

35.15 Conclusión

El método de sustitución es útil cuando una ecuación permite despejar fácilmente una incógnita. Su fortaleza está en reducir un sistema de dos incógnitas a una ecuación con una sola incógnita.

En el próximo tema veremos el método de igualación, que también se basa en despejar, pero compara dos expresiones equivalentes para la misma incógnita.