37. Método de reducción

37.1 Introducción

El método de reducción, también llamado método de eliminación, consiste en sumar o restar ecuaciones para hacer desaparecer una de las incógnitas.

Si sumamos las dos ecuaciones, la incógnita y se elimina.

37.2 Idea principal

Cuando una incógnita aparece con coeficientes opuestos, al sumar las ecuaciones se cancela.

Luego resolvemos 2x = 12.

37.3 Pasos del método

1. Ordenar las ecuaciones.
2. Elegir una incógnita para eliminar.
3. Hacer que sus coeficientes sean iguales u opuestos.
4. Sumar o restar las ecuaciones.
5. Resolver la ecuación resultante.
6. Reemplazar el valor encontrado para obtener la otra incógnita.
7. Verificar la solución.

37.4 Ejemplo con suma directa

Resolvamos:

Sumamos las ecuaciones:

37.5 Calcular la otra incógnita

Reemplazamos x = 6 en una de las ecuaciones originales.

La solución es x = 6, y = 4.

37.6 Verificación en JavaScript

const x = 6;
const y = 4;

const ecuacion1 = x + y === 10;
const ecuacion2 = x - y === 2;

console.log(ecuacion1 && ecuacion2);

37.7 Ejemplo con resta directa

Si una incógnita tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, podemos restarlas.

Restamos la segunda ecuación a la primera:

37.8 Completar el ejemplo

Reemplazamos x = 4 en x + y = 6.

La solución es x = 4, y = 2.

37.9 Cuando hay que multiplicar ecuaciones

A veces los coeficientes no son iguales ni opuestos. Entonces multiplicamos una o ambas ecuaciones.

En este caso, los coeficientes de y ya son opuestos: 3y y -3y. Podemos sumar directamente.

37.10 Ejemplo multiplicando una ecuación

Resolvamos:

Multiplicamos la primera ecuación por 3 para eliminar x al restar:

Luego x + 2 · 4 = 11, por lo tanto x = 3.

37.11 Verificación del ejemplo

const x = 3;
const y = 4;

const ecuacion1 = x + 2 * y === 11;
const ecuacion2 = 3 * x + y === 13;

console.log(ecuacion1);
console.log(ecuacion2);
console.log(ecuacion1 && ecuacion2);

37.12 Aplicación en programación

El método de reducción se relaciona con operaciones entre filas en matrices, una técnica muy usada para resolver sistemas en software.

function verificarSistema(x, y) {
  return x + 2 * y === 11 && 3 * x + y === 13;
}

console.log(verificarSistema(3, 4));
console.log(verificarSistema(4, 3));

37.13 Errores comunes

• Sumar cuando correspondía restar, o restar cuando correspondía sumar.
• Multiplicar solo un término de una ecuación en lugar de toda la ecuación.
• No alinear términos semejantes antes de combinar ecuaciones.
• Perder signos al restar ecuaciones completas.
• No reemplazar el valor encontrado para calcular la otra incógnita.

37.14 Qué debes recordar de este tema

• El método de reducción elimina una incógnita combinando ecuaciones.
• Si los coeficientes son opuestos, se suman las ecuaciones.
• Si los coeficientes son iguales, se restan las ecuaciones.
• A veces hay que multiplicar una o ambas ecuaciones antes de combinar.
• Después de hallar una incógnita, se reemplaza para obtener la otra.
• La solución debe verificarse en el sistema original.

37.15 Conclusión

El método de reducción es eficiente cuando se pueden cancelar incógnitas mediante suma o resta de ecuaciones. Es una base importante para métodos más generales con matrices.

En el próximo tema veremos la interpretación geométrica de sistemas, donde relacionaremos las soluciones con rectas en el plano.