Un sistema de dos ecuaciones lineales puede interpretarse como dos rectas en el plano. Resolver el sistema equivale a encontrar su punto de intersección.
Cada ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano cartesiano. Un sistema con dos ecuaciones representa dos rectas.
La solución del sistema es el punto donde ambas rectas se cruzan.
Una ecuación como y = mx + b representa una recta.
| Elemento | Significado | Ejemplo en y = 2x + 1 |
|---|---|---|
| m | Pendiente | 2 |
| b | Ordenada al origen | 1 |
| x, y | Coordenadas de puntos | (0, 1), (1, 3) |
El punto de intersección es un par ordenado (x, y) que pertenece a ambas rectas.
Igualando:
La intersección es (2, 5).
const x = 2;
const y = 5;
const recta1 = y === 2 * x + 1;
const recta2 = y === -x + 7;
console.log(recta1 && recta2);Cuando dos rectas tienen pendientes distintas, se cortan en un único punto. El sistema tiene una única solución.
Las pendientes son 2 y -1, por eso las rectas no son paralelas.
Si dos rectas tienen la misma pendiente pero distinta ordenada al origen, son paralelas y no se cruzan.
Ambas tienen pendiente 2, pero cortan al eje y en valores distintos. El sistema no tiene solución.
Si dos ecuaciones representan la misma recta, todos los puntos de esa recta son soluciones.
La segunda ecuación es equivalente a la primera. Por eso hay infinitas soluciones.
| Relación entre rectas | Cantidad de soluciones | Descripción |
|---|---|---|
| Se cortan | Una | Un punto común |
| Paralelas | Ninguna | No tienen puntos comunes |
| Coincidentes | Infinitas | Todos los puntos son comunes |
Si las ecuaciones están en forma y = mx + b, podemos comparar sus pendientes.
Como las pendientes son iguales y las ordenadas al origen son distintas, las rectas son paralelas.
Cuando ambas ecuaciones están despejadas como y = ..., igualamos sus expresiones.
Para rectas y = m1x + b1 y y = m2x + b2, si las pendientes son distintas:
function interseccion(m1, b1, m2, b2) {
if (m1 === m2) {
return "Las rectas son paralelas o coincidentes";
}
const x = (b2 - b1) / (m1 - m2);
const y = m1 * x + b1;
return { x, y };
}
console.log(interseccion(4, -1, 1, 8));La intersección de rectas aparece en gráficos, videojuegos, geometría computacional, interfaces y simulaciones.
const punto = interseccion(2, 1, -1, 7);
console.log(punto);Este cálculo puede usarse para detectar cruces entre trayectorias lineales.
La interpretación geométrica muestra que resolver un sistema lineal equivale a encontrar puntos comunes entre rectas. Esta visualización ayuda a comprender por qué puede haber una, ninguna o infinitas soluciones.
En el próximo tema veremos sistemas con más de dos incógnitas, donde la idea se extiende a más variables y ecuaciones.