39. Sistemas con más de dos incógnitas

39.1 Introducción

Hasta ahora trabajamos principalmente con sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas. En muchos problemas reales aparecen tres o más variables.

Este es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

39.2 Sistemas 3x3

Un sistema 3x3 tiene tres ecuaciones y tres incógnitas. Su forma general es:

La solución, si existe y es única, es una terna ordenada (x, y, z).

39.3 Qué significa una solución

Una solución debe cumplir todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo.

Estos valores son solución solo si hacen verdaderas las tres ecuaciones.

39.4 Verificación en JavaScript

const x = 2;
const y = 3;
const z = 7;

const ecuacion1 = x + y + z === 12;
const ecuacion2 = 2 * x - y + z === 8;
const ecuacion3 = x + 3 * y - z === 4;

console.log(ecuacion1);
console.log(ecuacion2);
console.log(ecuacion3);
console.log(ecuacion1 && ecuacion2 && ecuacion3);

39.5 Resolver por eliminación

Una estrategia común es eliminar una incógnita para convertir el sistema 3x3 en un sistema 2x2.

1. Elegir una variable para eliminar.
2. Combinar dos pares de ecuaciones para eliminar esa variable.
3. Resolver el sistema 2x2 resultante.
4. Reemplazar los valores encontrados para obtener la tercera variable.

39.6 Ejemplo sencillo

Consideremos este sistema:

La tercera ecuación ya nos da z = 7. Reemplazamos en la primera:

La primera y la segunda ecuación coinciden, por lo que hay infinitas combinaciones de x e y que suman 5.

39.7 Sistema con solución única

Veamos un sistema con solución única:

La solución es x = 2, y = 2, z = 2.

39.8 Cuidado con la verificación

En el ejemplo anterior, la tercera ecuación debería dar 0, pero con x = 2, y = 2, z = 2 da 2. Por lo tanto, esa terna no es solución.

Corrijamos usando un sistema coherente:

Ahora (2, 2, 2) sí cumple las tres ecuaciones.

39.9 Verificación del sistema coherente

const x = 2;
const y = 2;
const z = 2;

const ecuacion1 = x + y + z === 6;
const ecuacion2 = x - y + z === 2;
const ecuacion3 = x + y - z === 2;

console.log(ecuacion1 && ecuacion2 && ecuacion3);

39.10 Representación con matrices

Los sistemas grandes suelen organizarse mediante matrices. La matriz de coeficientes guarda los números que multiplican a las incógnitas.

39.11 Matrices en JavaScript

En JavaScript podemos representar una matriz como un arreglo de arreglos.

const coeficientes = [
  [1, 1, 1],
  [1, -1, 1],
  [1, 1, -1]
];

const resultados = [6, 2, 2];

console.log(coeficientes);
console.log(resultados);

39.12 Aplicaciones en programación

Los sistemas con varias incógnitas aparecen en gráficos 3D, simulaciones, optimización, economía, inteligencia artificial, ciencia de datos y resolución de restricciones.

• Calcular intersecciones en espacios de varias dimensiones.
• Resolver balances de recursos.
• Ajustar modelos con varias variables.
• Procesar transformaciones geométricas.

39.13 Errores comunes

• No verificar todas las ecuaciones del sistema.
• Perder el orden de las incógnitas al usar matrices.
• Eliminar una variable en una ecuación, pero no en otra.
• Confundir una terna (x, y, z) con soluciones independientes.
• Asumir que todo sistema tiene solución única.

39.14 Qué debes recordar de este tema

• Un sistema 3x3 tiene tres ecuaciones y tres incógnitas.
• La solución es una terna ordenada que cumple todas las ecuaciones.
• Podemos reducir un sistema 3x3 a sistemas 2x2 eliminando variables.
• Las matrices ayudan a organizar sistemas grandes.
• En programación, los sistemas se representan naturalmente con arreglos.
• Siempre hay que verificar la solución en todas las ecuaciones.

39.15 Conclusión

Los sistemas con más de dos incógnitas amplían las ideas que ya usamos en sistemas 2x2. La clave es organizar bien las ecuaciones, eliminar variables de forma ordenada y verificar la solución completa.

En el próximo tema veremos aplicaciones de sistemas de ecuaciones, conectando estos métodos con problemas concretos.