40. Aplicaciones de sistemas de ecuaciones

40.1 Introducción

Un sistema de ecuaciones es útil cuando un problema tiene varias incógnitas y varias relaciones entre ellas. En programación, esto aparece al calcular precios, distribuir recursos, resolver restricciones o encontrar intersecciones.

La clave es traducir cada condición del problema en una ecuación.

40.2 Pasos para modelar un problema

1. Leer el enunciado completo.
2. Identificar las incógnitas.
3. Asignar una variable a cada incógnita.
4. Traducir cada condición a una ecuación.
5. Resolver el sistema.
6. Verificar la solución en el contexto original.

40.3 Aplicación: precios de productos

Problema: 2 productos A y 1 producto B cuestan 110. Un producto A y un producto B cuestan 70. ¿Cuánto cuesta cada producto?

Restando la segunda ecuación a la primera:

40.4 Verificación en JavaScript

const a = 40;
const b = 30;

const condicion1 = 2 * a + b === 110;
const condicion2 = a + b === 70;

console.log(condicion1 && condicion2);

40.5 Aplicación: entradas vendidas

Problema: se vendieron 120 entradas. Las entradas generales cuestan 1000 y las preferenciales 1500. La recaudación total fue 140000. ¿Cuántas entradas de cada tipo se vendieron?

Dividiendo la segunda ecuación por 500:

La solución es g = 80 y p = 40.

40.6 Verificar entradas

const generales = 80;
const preferenciales = 40;

const cantidadCorrecta = generales + preferenciales === 120;
const recaudacionCorrecta = 1000 * generales + 1500 * preferenciales === 140000;

console.log(cantidadCorrecta && recaudacionCorrecta);

40.7 Aplicación: mezcla de materiales

Problema: se quiere preparar 10 litros de una mezcla usando líquido A y líquido B. La cantidad de A debe ser el triple que la de B. ¿Cuántos litros de cada uno se necesitan?

Sustituyendo:

40.8 Aplicación: recursos limitados

Los sistemas también sirven para distribuir recursos. Por ejemplo, si dos tareas consumen memoria y tiempo de CPU, podemos modelar límites con ecuaciones o inecuaciones.

Donde x e y representan cantidades de dos tipos de procesos o tareas.

40.9 Aplicación: intersección de trayectorias

En gráficos y videojuegos, dos trayectorias lineales pueden representarse con ecuaciones. Su intersección indica dónde se cruzan.

La intersección es (2, 5).

const x = 2;
const y = 5;

console.log(y === 2 * x + 1 && y === -x + 7);

40.10 Resolver un sistema 2x2 por fórmula

Para sistemas de la forma:

Podemos usar una fórmula basada en determinantes si el sistema tiene solución única.

40.11 Implementación en JavaScript

function resolver2x2(a1, b1, c1, a2, b2, c2) {
  const determinante = a1 * b2 - a2 * b1;

  if (determinante === 0) {
    return "No hay solución única";
  }

  const x = (c1 * b2 - c2 * b1) / determinante;
  const y = (a1 * c2 - a2 * c1) / determinante;

  return { x, y };
}

console.log(resolver2x2(2, 1, 110, 1, 1, 70));

40.12 Validar resultados

En problemas reales, no basta con resolver el sistema. También hay que validar que los resultados tengan sentido.

• Las cantidades de productos no deberían ser negativas.
• Las cantidades de personas suelen ser enteras.
• Los costos deben tener unidades correctas.
• Las restricciones del problema deben cumplirse.

40.13 Errores comunes

• Definir mal las incógnitas.
• Traducir una condición a una ecuación incorrecta.
• Resolver el sistema pero no interpretar el resultado.
• No verificar la solución en todas las ecuaciones.
• Aceptar valores que no tienen sentido en el contexto.

40.14 Qué debes recordar de este tema

• Los sistemas modelan problemas con varias incógnitas relacionadas.
• Cada condición importante debe convertirse en una ecuación.
• La solución debe cumplir todas las ecuaciones.
• La verificación algebraica y la interpretación contextual son necesarias.
• En programación, los sistemas pueden implementarse como funciones.
• Los resultados deben validarse según las reglas del problema.

40.15 Conclusión

Las aplicaciones de sistemas de ecuaciones muestran cómo el álgebra ayuda a resolver problemas con varias condiciones simultáneas. Esta forma de modelar es muy útil al diseñar algoritmos y validar resultados.

En el próximo tema veremos coordenadas cartesianas, una herramienta fundamental para representar puntos, rectas, gráficos y soluciones en el plano.