45. Ecuación de la recta

La ecuación de una recta permite calcular puntos de una relación lineal. Es una herramienta básica para gráficos, modelos, interpolación y programación visual.

45.1 Introducción

Una recta puede representarse mediante una ecuación. Esa ecuación permite calcular el valor de y para cada valor de x.

y = mx + b

Esta es una de las formas más utilizadas de la ecuación de la recta.

45.2 Forma pendiente-ordenada

La forma y = mx + b se llama forma pendiente-ordenada.

Símbolo Significado Ejemplo en y = 2x + 3
m Pendiente 2
b Ordenada al origen 3
x Variable independiente Valor de entrada
y Variable dependiente Valor calculado

45.3 Interpretar una ecuación

En la recta y = 2x + 3, la pendiente es 2 y la ordenada al origen es 3.

Si x = 0, entonces y = 3
Si x = 1, entonces y = 5
Si x = 2, entonces y = 7

Por cada unidad que aumenta x, y aumenta 2.

45.4 Evaluar una recta en JavaScript

function recta(x) {
  return 2 * x + 3;
}

console.log(recta(0));
console.log(recta(1));
console.log(recta(2));

45.5 Construir una tabla de valores

Podemos generar varios puntos de una recta evaluando distintos valores de x.

function y(x) {
  return 2 * x + 3;
}

const puntos = [];

for (let x = -2; x <= 2; x++) {
  puntos.push({ x, y: y(x) });
}

console.log(puntos);

45.6 Obtener la ecuación con pendiente y un punto

Si conocemos la pendiente m y un punto (x1, y1), podemos usar la forma punto-pendiente:

y - y1 = m(x - x1)

Luego podemos despejar y para obtener la forma y = mx + b.

45.7 Ejemplo con punto y pendiente

Recta con pendiente 2 que pasa por (1, 5):

y - 5 = 2(x - 1)
y - 5 = 2x - 2
y = 2x + 3

45.8 Obtener la ecuación con dos puntos

Si conocemos dos puntos, primero calculamos la pendiente.

A(1, 5), B(3, 9)
m = (9 - 5) / (3 - 1)
m = 4 / 2 = 2

Luego usamos uno de los puntos en la forma punto-pendiente.

45.9 Ecuación desde dos puntos en JavaScript

function rectaDesdeDosPuntos(a, b) {
  const dx = b.x - a.x;

  if (dx === 0) {
    return "Recta vertical";
  }

  const m = (b.y - a.y) / dx;
  const ordenada = a.y - m * a.x;

  return { m, b: ordenada };
}

console.log(rectaDesdeDosPuntos({ x: 1, y: 5 }, { x: 3, y: 9 }));

45.10 Rectas horizontales

Una recta horizontal tiene pendiente cero. Su ecuación tiene la forma:

y = c

Por ejemplo, y = 4 representa todos los puntos cuya coordenada y vale 4.

45.11 Rectas verticales

Una recta vertical no puede escribirse como y = mx + b, porque su pendiente es indefinida.

x = c

Por ejemplo, x = 3 representa todos los puntos cuya coordenada x vale 3.

45.12 Aplicación en programación

Las ecuaciones de rectas se usan en gráficos, interpolación, movimiento lineal, animaciones y modelos simples.

function interpolar(x, x1, y1, x2, y2) {
  const m = (y2 - y1) / (x2 - x1);
  const b = y1 - m * x1;

  return m * x + b;
}

console.log(interpolar(5, 0, 10, 10, 30));

La función calcula un valor intermedio sobre una recta.

45.13 Errores comunes

  • Confundir pendiente con ordenada al origen.
  • Usar dos puntos con la misma x sin detectar recta vertical.
  • Calcular mal la pendiente por invertir coordenadas.
  • Olvidar que b es el valor de y cuando x = 0.
  • Creer que todas las rectas pueden escribirse como y = mx + b.
Las rectas verticales tienen forma x = c, no y = mx + b.

45.14 Qué debes recordar de este tema

  • La forma pendiente-ordenada es y = mx + b.
  • m es la pendiente.
  • b es la ordenada al origen.
  • Con un punto y una pendiente se puede construir una recta.
  • Con dos puntos se calcula primero la pendiente.
  • Las rectas verticales se escriben como x = c.

45.15 Conclusión

La ecuación de la recta conecta coordenadas, pendiente y funciones lineales. Es una herramienta central para representar relaciones simples y programar gráficos o movimientos.

En el próximo tema veremos intersección de rectas, donde calcularemos el punto común entre dos ecuaciones lineales.

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